Question

Докажите, что n^5/5 + n^3/3 + 7n/15 целое число

Answer 1

Ответ:

Во первых,спасибо за наконец-то интересную задачу на Знаниях, мне даже пришлось полистать Math stackexchange!!

1) Преобразуем выражение $\frac{n^{5}}{5} + \frac{n^{3} }{3} + \frac{7n}{15} = \frac{3n^{5} + 5n^{3} + 7n}{15}$

2) Далее интересный момент: вычтем из числителя 8n, а затем их же прибавим: $\frac{3n^{5} - 3n + 5n^{3} - 5n + 7n + 8n}{15} = \frac{3n^{5} - 3n}{15} + \frac{5n^{3} - 5n}{15} + \frac{7n + 8n}{15} = \frac{n^{5} - n}{5} + \frac{n^{3} - n}{3} + n$

3) А теперь самое интересное: используем Малую теорему Ферма!

$\frac{n^{5} - n}{5} + \frac{n^{3} - n}{3} + n = \frac{n(n^{4} - 1)}{5} + \frac{n(n^{2} - 1)}{3} + n$

Она формулируется так: если p - простое число, то для любого натурального a, не делящегося на p, разность $a^{p - 1} - 1$ делится на p

Заметим эту теорему в числителях наших дробей: $(n^{4} - 1)$ делится на 5,

$n^{2} - 1$ делится на 3, а значит мы получаем сумму 3 целых числе, которые в сумме также дадут целое число!!!!

ЧТД