Решите с объяснением срочно, пожалуйста)
![](https://files.topotvet.com/i/464/4640bf0a1dd5b21454dd1a3866f5add2.png)
Ответы
Ответ:
1. (x+5)/(x²+5x+6)=3/(x+2) - 2/(x+3)
2. (5x-13)/[(x-1)(x-3)²]=1/(x-3)²+2/(x-3)-2/(x-1)
3. f(x)=2x³-7x-17x+10=2(x+2)(x-5)(x-0,5)
Пошаговое объяснение:
1. (x+5)/(x²+5x+6);
раскладываем знаменатель на множители:
x²+5x+6=0; D=25-6*4=1; x₁₂=0.5(-5±1);
x₁=-2; x₂=-3; x²+5x+6=(x+2)(x+3);
(x+5)/(x²+5x+6)= (x+5)/[(x+2)(x+3)];
метод неопределенных коэффициентов.
Степень числителя (1) меньше, чем степень знаменателя (3), поэтому разложение на простейшие дроби будет иметь вид:
A/(x+2) + B/(x+3)=[A(x+3)+B(x+2)]/[(x+2)(x+3)];
A(x+3)+B(x+2)=Ax+3A+Bx+2B;
Возвращаемся к условию:
(x+5)=Ax+3A+Bx+2B;
(x+5)=x(A+B)+3A+2B;
два многочлена равны тогда, и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях:
1=A+B; ⇒ A=1-B; A=1-(-2)=+3;
5=3A+2B; 3(1-B)+2B=5; 3-3B+2B=5; B=-2;
(x+5)/(x²+5x+6)=3/(x+2) - 2/(x+3)
Проверка (числитель):
3/(x+2) - 2/(x+3)=3*(x+3)-2(x+2)=3x+9-2x-4=x+5 Правильно!
2. (5x-13)/[(x-1)(x-3)²];
Метод неопределенных коэффициентов.
Степень числителя (1) меньше, чем степень знаменателя (3), поэтому разложение на простейшие дроби будет иметь вид:
A/(x-1)+B/(x-3)²+C/(x-3)=...
приводим к общему знаменателю наш новый многочлен:
...=[A(x-3)²+B(x-1)+C(x-3)]/[(x-1)(x-3)²]
работаем только с числителем:
A(x-3)²+B(x-1)+C(x-3)=A(x²-6x+9)+Bx-B+Cx-3C=Ax²-6Ax+9A+Bx-B+4Cx+3C=
=(A+C)x²-(6A-B+4C)x+9A-B+3C;
возвращаемся к числителю условия:
5x-13=(A+C)x²+(-6A+B-4C)x+9A-B+3C;
два многочлена равны тогда, и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Получаем систему линейных уравнений:
A+C=0;
-6A+B-4C=5;
9A-B+3C=-13;
Решаем ее любым доступным методом. Например, методом Крамера:
матрица коэффициентов:
1 0 1 0
-6 1 -4 5
9 -1 3 -13
вычислим определители:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0
det: -6 1 -4 = -4 detA: 5 1 -4 =8 detB: -6 5 -4 =-4 detC: -6 1 5 =-8
9 -1 3 -13 -1 3 9 -13 3 9 -1 -13
A=detA/det=8/(-4)=-2;
B=detB/det-4/(-4)=1;
C=detC/det=-8/(-4)=2;
A=-2; B=1; C=2;
A/(x-1)+B/(x-3)²+C/(x-3);
-2/(x-1)+1/(x-3)²+2/(x-3)=1/(x-3)²+2/(x-3)-2/(x-1);
(5x-13)/[(x-1)(x-3)²]=1/(x-3)²+2/(x-3)-2/(x-1)
Проверка:
сам проверь.
3. f(x)=2x³-7x-17x+10;
многочлен 3-й степени. Попытаемся найти хотябы один корень методом подбора.
Все множители свободного члена:
10: ±1; ±2; ±5; ±10
методом подстановки определяем, что корень многочлена -2:
2*(-2)³-7(-2)²-17(-2)+10=-16-28+34+10=-43+43=0;
Следовательно многочлен выглядит следующим образом:
f(x)=(x+2)(Ax²+Bx+C);
чтобы найти коэффициенты квадратного трехчлена разделим наш трехчлен 3-й степени на уже известный нам множитель (x+2)(в столбик, как в 4-м классе делили)):
2x³-7x²-17x+1 l x+2
l 2x²-11x+5
2x³+4x²
-11x²-17x
-11x²-22x
5x+10
5x+10
0
Разложим на множители:
2x²-11x+5=0; D=121-40=81; x₁₂=0.25(11±9); x₁=5; x₂=0.5;
2x²-11x+5=2(x-5)(x-0,5);
f(x)=2x³-7x-17x+10=2(x+2)(x-5)(x-0,5)