Question

При каком значении a и b выполняется равенство вектор AB= вектору CD, если A(-1;3), B(a;5), C(0;-3) и D(1; b)

Answer 1

При каком значении a и b выполняется равенство вектор AB= вектору CD, если A(-1;3), B(a;5), C(0;-3) и D(1; b)

Объяснение:

Вектора АВ=CD если их длины равны  и они сонаправлены.

Координаты векторов  АВ(а+1 ;2)  , CD(1 ; b+3)   . Для сонаправленности  векторы д.б.  коллинеарные ,  когда их координаты пропорциональны  :  $\frac{a+1}{1} =\frac{2}{b+3}$  ,   $a+1=\frac{2}{b+3}$   .

Длины векторов |АВ|=√((а+1)²+2²)   , |CD| =√( 1²+(b+3)²)   .Т.к |АВ|²=|CD|² , то (а+1)²+2²= 1²+(b+3)²  .

Т.к.     $a+1=\frac{2}{b+3}$   , то $( \frac{2}{b+3}) ^{2}$ +3- (b+3)² =0  . Пусть  (b+3)² =t тогда

$\frac{4}{t} +3-t=0$  или t²-3t-4=0  ,  t₁=-1    , t₂=4  .

(b+3)² =-1  решений нет , т.к.  (b+3)² ≥0 ;

(b+3)² = 4 ,  

          b+3 = 2  ,  b=1    ⇒     $a+1=\frac{2}{1+3}$   , а= -0,5.

          b+3 =- 2  , b=-5 ⇒    $a+1=\frac{2}{-5+3}$   , а=-2 .

Получили

1) АВ(0,5 ;2)  , CD(1 ; 4)   вектора сонаправлены ( соответствующие координаты одного знака ;

2)  АВ( -1 ;2)  , CD(1 ; -2)  вектора противоположно направлены  ( соответствующие координаты разного знака )   .

Ответ.  b=1 ,а= -0,5.