Question

Найдите производную как можно подробно и с обяснением.

$y=\frac{x^2-5x+6}{2-x}$

Answer 1

Ответ:

-1 .

Объяснение:

$y=\frac{x^{2}-5x+6}{2-x};$

$y'=(\frac{x^{2}-5x+6}{2-x})';$

Разложим на множители числитель дроби. Числитель представляет собой квадратный трёхчлен.

$ax^{2}+bx+c=a*(x-x1)*(x-x2);$

x1 и x2 - корни квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0.$

$x^{2}-5x+6=0.$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:

$\left \{ {{x1+x2=-\frac{b}{a};} \atop {x1*x2=\frac{c}{a};}} \right.$

Знак минус перед дробью и знак минус числа b дают знак плюс:

$\left \{ {{x1+x2=\frac{5}{1};} \atop {x1*x2=\frac{6}{1};}} \right.$

Необходимы два числа, дающих в сумме 5 и в произведении 6. Это числа 2 и 3 (2+3=5 и 2*3=6):

$\left \{ {{x1=2} \atop {x2=3}} \right.$

Подставляем в формулу для разложения полученные данные. Отсутствие множителя перед $x^{2}$ означает, что там находится 1:

$x^{2}-5x+6=1*(x-2)*(x-3);$

При умножении любого числа на 1 получается исходное число:

$x^{2}-5x+6=(x-2)*(x-3);$

Подставим последнее произведение в числитель дроби.

$y'=(\frac{(x-2)*(x-3)}{2-x})';$

Поменяем слагаемые в знаменателе местами, вынеся перед дробью знак "-":

$y'=(-\frac{(x-2)*(x-3)}{x-2})';$

Сократим "x-2":

$y'=(-(x-3))';$

Раскроем скобки. Минус меняет знаки слагаемых, находящихся в скобке, на противоположные:

$y'=(-x+3)';$

$y'=(3-x)';$

Производная разности равняется разности производных:

$y'=3'-x';$

Цифра 3 является константой (постоянной). Производная константы (постоянной) является 0 (табличная производная). Производная x равняется единице (также табличная производная):

$y'=0-1;$

$y'=-1.$