Отдаю 70 БАЛЛОВ. Векторы a→ и b→ - не нулевые.
Известно, |a→ - 1000b→ | = |a→ + 1000b→ |
Докажите, что векторы a→ и b→ перпендикулярны друг другу.
Ответы
Ответ: утверждение доказано.
Объяснение:
Пусть Ax, Ay, Az - проекции вектора a на координатные оси OX,OY и OZ, а Bx, By, Bz - проекции вектора b на эти же оси. Тогда проекции вектора c=a-1000*b на эти оси будут таковы: Cx=Ax-1000*Bx, Cy=Ay-1000*By, Cz=Az-1000*Bz. А проекции вектора d=a+1000*b на эти оси будут Dx=Ax+1000*Bx, Dy=Ay+1000*By, Dz=Az+1000*Bz. По условию, длины векторов c и d равны. Но /с/=√(Cx²+Cy²+Cz²)=√[(Ax-1000*Bx)²+(Ay-1000*By)²+(Az-1000*Bz)²], а /d/=√(Dx²+Dy²+Dz²)=√[(Ax+1000*Bx)²+(Ay+1000*By)²+(Az+1000*Bz)²]. Отсюда следует равенство √[(Ax-1000*Bx)²+(Ay-1000*By)²+(Az-1000*Bz)²]=√[(Ax+1000*Bx)²+(Ay+1000*By)²+(Az+1000*Bz)²]. Возводя обе части в квадрат, приходим к равенству (Ax-1000*Bx)²+(Ay-1000*By)²+(Az-1000*Bz)²=(Ax+1000*Bx)²+(Ay+1000*By)²+(Az+1000*Bz)².
После приведения подобных членов оно принимает вид -2000*Ax*Bx-2000*Ay**By-2000*Az*Bz=2000*Ax*Bx+2000*Ay*By+2000*Az*Bz, или 4000*(Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz)=0. Отсюда Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz=0, но выражение Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz есть ни что иное, как скалярное произведение векторов a и b. А равенство нулю скалярного произведения векторов есть необходимое и достаточное условие их перпендикулярности. Утверждение доказано.