Question

Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ - корни уравнения f(x) - A = 0, а $x_{3}$ и $x_{4}$ - корни q(x) - В = 0. Известно, что числа $x_{1}$;$x_{2}$;$x_{3}$;$x_{4}$ являются членами геометрической прогрессии с её положительными членами. Найти А и В, если f(x) = -$x^{2}$ +3x ; q(x) = 12x - $x^{2}$

Answer 1

Ответ:

Условие

Известно, что корни уравнения x2 + px + q = 0 — целые числа, а p и q — простые числа. Найдите p и q.

Решение

Пусть x1 и x2 — корни нашего квадратного трёхчлена. Тогда (по теореме Виета) x1 * x2 = q. Так как корни целые, a q — простое, то один из корней равен 1 или –1.

Рассмотрим сначала случай x1 = 1. Тогда x1 = q. По теореме Виета 1 + q = –p по условию p и q — простые, в частности, целые положительные числа. Значит, в первом случае решений нет.

Пусть теперь x1 = –1. Получаем x1 = –q, –1 – q = –p. То есть p = q + 1. Значит, p и q — два простых числа, отличающиеся на 1. Такая пара чисел всего одна: p = 3 и q = 2 (так как единственное чётное простое число — это 2).

Ответ

р = 3, q = 2.

Объяснение: