Question

В результате ошибочных расчетов, выполненных специалистами, завалившими
часть «С» ЕГЭ по физике, построенная ими ракета сумела подняться лишь на
высоту 3 200 км, после чего начала свободннадать на Землю. Какова будет
скорость аппарата в момент его касания поверхности Земли? Радиус Земли 6400
км. Влиянием атмосферы пренебречь. Ответ в км/с округлите до десятых.

Answer 1

Ответ:

6,4 км/с

Объяснение:

Введем понятие гравитационного потенциала для Земли, поместив его ноль на бесконечность, тогда:

$\displaystyle \phi=\int\limits^R_{\infty} {G\frac{M}{r^2} } \, dr =-G\frac{M}{r}|_{\infty}^R= -G\frac{M}{R}$

Таким образом, изменение кинетического энергии ракеты:

$\displaystyle \Delta E_k=m\Delta \phi=-GMm\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)$

$\displaystyle \frac{mv^2}{2}=-GMm\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1} \right )$

$\displaystyle v=\sqrt{-2GM\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1} \right )} =$

$\displaystyle \sqrt{-2*6.67*10^{-11}*5.97*10^{24}*\left(\frac{1}{(3200+6400)*10^3} -\frac{1}{6400*10^3} \right)} =6443$ м/с или 6,4 км/с.

Примечание: масса Земли была принята равной 5,97*10²⁴ кг.