Question

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции ​

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {(1-2cos^2x)} \, dx =\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {(sin^2x+cos^2x-2cos^2x)} \, dx =\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {(sin^2x-cos^2x)} \, dx =\\=-\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {(cos^2x-sin^2x)} \, dx=-\int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {cos(2x)} \, dx=-\frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi }{4} }_0 {cos(2x)} \, d(2x)=\\=-0,5sin(2x)\ |^{\frac{\pi }{4}} _0 =-0,5*(sin(\frac{2*\pi }{4})-sin(2*0))=-0,5*(sin\frac{\pi }{2} -sin0)=\\=-0,5*(1-0)=-0,5*1=-0,5.$

Answer 2

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4} } (1 - 2\cos^{2}x)\,dx = - \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4} } (2\cos^{2}x - 1)\,dx = - \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4} } \cos 2x\,dx =$

$= \displaystyle -\dfrac{1}{2} \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4} } \cos 2x \,d(2x) = -\dfrac{1}{2} \sin 2x \bigg|^{\tfrac{\pi}{4} }_{0} = - \dfrac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2} \sin 0 =$

$= - \dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot 0 = -\dfrac{1}{2}$

Ответ: $- \dfrac{1}{2} ~ \blacktriangleleft$

Примечание. Использованные формулы:

$\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1$ — косинус двойного угла

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\,dx = F(x) |^{b}_{a} = F(b) - F(a)$ — формула Ньютона—Лейбница (здесь $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$)

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(\varphi (x))\,d(\varphi (x)) = F(\varphi (x))|^{b}_{a} = F(\varphi (b)) - F(\varphi (a))$ — метод введения под знак дифференциала