Question

при каких a уравнение имеет единственное значение
| x+2 | - | 2x-a | =4

Answer 1

Ответ:

$a=-12$ и $a=4$

Объяснение:

Первый модуль обращается в ноль при x=-2, второй - при $x=\frac{a}{2}$.

Пусть сначала

$\frac{a}{2} =-2\\a=-4$

Тогда уравнение принимает вид $|x+2|=-4$ и, очевидно, не имеет решений.

Пусть теперь

$\frac{a}{2} >-2$

$a>-4$

Если $x \in [\frac{a}{2} ;+\infty)$, то оба модуля раскрываются с плюсом и уравнение принимает вид:

$x+2+a-2x=4\\x=a-2$

Полученный x будет корнем уравнения, если он принадлежит рассматриваемому отрезку, то есть если $a$ удовлетворяет системе неравенств

$\left \{ {{a-2\geq \frac{a}{2} } \atop {a>-4}} \right.$

Решение системы: $a\geq 4$

Если $x \in [-2 ;\frac{a}{2})$, то уравнение принимает вид

$x+2+2x-a=4\\x=\frac{a+2}{3}$

Полученный x будет корнем уравнения, если $a$ удовлетворяет системе:

$\left \{ {{-2\leq \frac{a+2}{3} <\frac{a}{2}} \atop {a>-4}} \right.$

Решение системы: $a>4$

Пусть, наконец, $x \in (-\infty ;-2)$. Тогда уравнение принимает вид

$-2-x+2x-a=4\\x=a+6$

Полученный x будет корнем уравнения, если $a$ удовлетворяет системе:

$\left \{ { a+6<-2} \atop {a>-4}} \right.$

Эта система не имеет решений.

Теперь пусть $\frac{a}{2} <-2$, то есть $a<-4$.

Если $x\in[-2; +\infty)$, то

$x+2-2x+a=4\\x=a-2$

Система:

$\left \{ { a-2\geq -2} \atop {a<-4}} \right.$

Нет решений.

Если $x\in[\frac{a}{2} ; -2)$, то

$-2-x-2x+a=4\\x=\frac{a-6}{3}$

Система:

$\left \{ {{\frac{a}{2} \leq \frac{a-6}{3} <-2} \atop {a<-4}} \right.$

Решение системы: $a\leq -12$

И наконец, если $x \in (-\infty ;-\frac{a}{2} )$, то

$-x-2+2x-a=4\\x=a+6$

Система:

$\left \{ {{a+6<\frac{a}{2} } \atop {a<-4}} \right.$

Решение: $a<-12$

Из вышесказанного очевидно, что

При $a\in(-\infty; -12)$ - два решения

При $a=-12$ - одно решение

При $a\in(-12; -4)$ - нет решений

При $a\in[-4; 4)$ - нет решений

При $a=4$ - одно решение

При $a\in(4; +\infty)$ - два решения

Таким образом, уравнение имеет одно решение при $a=-12$ и $a=4$