Question

Можно ли утверждать, то множество точек окружности $x^{2} +(y-1)^{2} =1$ , где y>1, эквивалентно множеству точек оси ОХ?
Ответ: можно утверждать. объясните почему

Answer 1

Ответ:

Да, можно

Пошаговое объяснение:

Мн-ва эквивалентны, если можно построить биективное отображение из одного в другое.

Нетрудно заметить, что в данном случае такое отображение можно задать, например, поставив в соответствие каждой точке А заданной части окружности точку пересечения оси Ох и прямой, проходящей через точку А и центр окружности (0;1).

Обоснуем это.

Отметим, что мн-во точек $\{(x;y)|\;x^2+(y-1)^2=1,y>1\}$ - верхняя половина окружности $x^2+(y-1)^2=1$ без точек $(-1;1),(1;1)$ . Тогда каждая точка этого множества однозначно задается значением ее абсциссы. Аналогично заметим, что и каждая из точек оси Оx однозначно задается своей абсциссой (т.к. ордината у каждой из точек равна 0).

Зафиксируем точку А с абсциссой а, $a\in(-1;1)$ . Тогда ее ордината b выражается из уравнения:

$a^2+(b-1)^2=1\to(b-1)^2=1-a^2\to[b>1\to b-1>0]\to b-1=\sqrt{1-a^2}=>b=1+\sqrt{1-a^2}$

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку А и центр окружности (0;1).

Если она перпендикулярна оси Оx, то ее уравнение $x=m$ .

Если такая прямая существует, то удовлетворяет системе $\left \{ {{m=0} \atop {m=a}} \right. =>\left \{ {{m=0} \atop {a=0}} \right.$ - действительно, для a=0 такая прямая задается уравнением $x=0$.

Тогда точка пересечения с осью Оx - (0;0)

Пусть теперь прямая не перпендикулярна оси Оx, тогда ее уравнение $y=kx+l$

Если такая прямая существует, то удовлетворяет системе

$\left \{ {{1=k*0+l} \atop {1+\sqrt{1-a^2}=ka+l}} \right. =>\left \{ {{l=1} \atop {\sqrt{1-a^2}=ka\;(1)}} \right.$

$(1)\;\;\;\sqrt{1-a^2}=ka$

a=0 не удовлетворяет данному уравнению => разделив на a, имеем:

$k=\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}$

И уравнение такой прямой имеет вид $y=\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}\;x+1$

Выразим абсциссу точки пересечения с осью Ox:

$0=\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}\;x_0+1\to\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}\;x_0=-1\to[|a|<1\to1-a^2\neq0]\to\\ x_0=-\dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}}, a\neq 0$

Исследуем функцию $f(z)=\dfrac{z}{\sqrt{1-z^2}}, z\in(-1;0)\cup (0;1)$

$f'(z)=\dfrac{\sqrt{1-z^2}-z*\dfrac{-z}{\sqrt{1-z^2}}}{1-z^2}=\dfrac{1}{(1-z^2){\sqrt{1-z^2}}}>0$ - а значит функция монотонно возрастает на области задания

$\lim\limits_{z\to-1+0}f(z)=\lim\limits_{z\to-1+0}\dfrac{(z+1)-1}{\sqrt{(1-z)(1+z)}}=\lim\limits_{t\to+0}\dfrac{t-1}{\sqrt{(2-t)t}}=-\infty$

$\lim\limits_{z\to1-0}f(z)=\lim\limits_{z\to1-0}\dfrac{1-(1-z)}{\sqrt{(1-z)(1+z)}}=\lim\limits_{t\to+0}\dfrac{1-t}{t\sqrt{(2-t)}}=+\infty$

$\lim\limits_{z\to-0}f(z)=0=\lim\limits_{z\to+0}f(z)$ , а значит, если доопределить ее в точке z=0 значением 0 (абсцисса точки пересечения прямой при a=0), то функция будет непрерывна. А тогда она принимает и все значения между $-\infty$ и $+\infty$ , т.е. ее мн-во значений $R$. А, т.к. она монотонна, то и каждое значение ровно 1 раз.

А это и означает, что для любой точки множества $\{(x;y)|\;x^2+(y-1)^2=1,y>1\}$ найдется точка оси Ox, причем уникальная, и наоборот.

Ч.т.д.