Question

a^3-b^3=4p^2
Найдите все натуральные а и b, а также такие простые числа p при которых
выражение истинно

Answer 1

Ответ: решений нет.

Пошаговое объяснение:

$a^3-b^3 = 4p^2\\(a-b)(a^2+ab+b^2) =4p^2\\(a-b)((a-b)^2+3ab)=4p^2$

Рассмотрим случай, когда $p\neq 2;3$

Предположим, что числа $a,b$ имеют общий простой делитель $t$, но тогда $a^3-b^3$ делиться на $t^3$, поскольку $p\neq 2$ , а также является  простым, то $t=p$ или $t=2$, но однако правая часть не делиться на $p^3$ или $2^3=8$, то есть мы пришли к противоречию. Числа $a,b,p,2$ - взаимнопростые, а значит раз $p\neq 3$, $3ab,p,2$ - также взаимнопростые, при этом числа a,b - нечетные, а значит a-b четно, а 3ab нечетно. То есть (a-b)^2+3ab нечетно, а значит a-b делиться на 4.

Предположим, что $a-b$ делиться на $p$, но тогда $(a-b)^2+3ab$ не делиться на $p$, а значит остается единственный вариант: (a-b)^2+3ab=1, что невозможно для натуральных чисел a и b. Мы пришли к противоречию, a-b не делиться на p, с учетом всего сказанного получаем систему:

$\left \{ {{a-b=4} \atop {(a-b)^2+3ab=p^2}} \right. \\16+3b(b+4)=p^2\\3b^2+12b+16=p^2$

$12b+16$ делиться на $4$, а поскольку $b$- нечетно, то $b^2$  при делении на 4 дает остаток 1, а значит  3b^2 дает при делении на 4 остаток 3, как и все выражение: 3b^2+12b+16, однако p≠2 , а значит нечетно, то есть p^2 при делении на 4 дает остаток 1, то есть мы пришли к противоречию, данная система не имеет решений в натуральных числах.

Перейдем теперь к рассмотрению тривиальных случаев.

1) $p=2$

$a^3-b^3=2^4\\(a-b)((a-b)^2+3ab)=2^4$

Заметим, что $a=b=x$, или $a=2;b=1$ не является решением, ибо $4p^2\neq 7;0$, тогда:

$3ab\geq 3*3*1=9\\(a-b)^2\geq 1^2=1\\(a-b)^2+3ab\geq 10$

То есть возможен единственный вариант, учтя что $10>2^3=8$

$\left \{ {{a-b=1} \atop {(a-b)^2+3ab=16}} \right. \\1+3b(b+1) =16\\15=3b(b+1)\\b(b+1)=5$

Нет решений в натуральных числах.

2) $p=3$

$(a-b)((a-b)^2+3ab)=2^2*3^2$

Из рассуждений аналогичных представленным вначале: (a-b)^2+3ab нечетно, но тогда  (a-b)^2+3ab=3;9<10

Как видим решений в натуральных числах нет.