Question

решите

1+3/4+5/16+7/64+.........

Answer 1

Ответ: $\frac{20}{9}$

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии:

$x+x^3+x^5+x^7...=\frac{b_{1} }{1-q}= \frac{x}{1-x^2} ; |x|<1$

Продифференцируем обе части равенства:

$1+3x^2+5x^4+7x^6... = (\frac{x}{1-x^2})' = (x*(\frac{1}{1-x^2} ))'= \frac{1}{1-x^2} + x*(-\frac{1}{(1-x^2)^2} *(-2x) =\\= \frac{1}{1-x^2} +\frac{2x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$

Подставим : $x=\frac{1}{2} <1$

$1+\frac{3}{4} +\frac{5}{16} +\frac{7}{64} ...=\frac{1+\frac{1}{4} }{(1-\frac{1}{4})^2 } = \frac{5}{4} *\frac{16}{9} = \frac{20}{9}$

Эту же задачу можно решить другим способом, без применения производной.

Обозначим:

$1+\frac{3}{4} +\frac{5}{16} +\frac{7}{64} ...=S$

Очевидно, что :

$2+\frac{2}{4} +\frac{2}{16} +\frac{2}{64}... = \frac{2}{1-\frac{1}{4} } = \frac{8}{3} \\\frac{S}{4} =\frac{1}{4}+\frac{3}{16} +\frac{5}{64} ...\\1+\frac{2}{4} +\frac{2}{16} +\frac{2}{64}... =\frac{8}{3} -1 = \frac{5}{3}$

Cложим полученные ряды почленно:

$\frac{S}{4} +\frac{5}{3} = 1+\frac{3}{4} +\frac{5}{16} +\frac{7}{64} ...=S\\\frac{S}{4} +\frac{5}{3} =S\\S+\frac{20}{3}=4S\\ S=\frac{20}{9}$