Question

Плоский конденсатор ємністю С = 60 · 10-12 Ф зарядили в повітрі до потенціалу U = 400 В. Після занурення конденсатора в рідкий діелектрик до половини висоти його пластин енергія конденсатора зменшилась на ΔW = 1,2 · 10-6 Дж. Визначте діелектричну проникність діелектрика.​

Answer 1

Ответ:

ε ≈ 1,7

Объяснение:

С₁ = 60·10⁻¹² Ф

U₁ = 400 B

ΔW = 1.2·10⁻⁶ Дж

ε - ? - диэлектрическая проницаемость диэлектрика

-----------------------------------------------

$C_1 = \dfrac{\epsilon_0S}{d}$    здесь  ε₀ - абсолютная диэлектрическая проницаемость, S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами.

После погружения половины высоты пластин в диэлектрик, образовалось два конденсатора, соединённых параллельно: один площадью пластины 0,5S - воздушный, другой - также  площадью 0,5S, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  ε.

Емкость такой системы конденсаторов равна

$C_2 = \dfrac{\epsilon \epsilon_0S}{2d} + \dfrac{\epsilon_0S}{2d} = \dfrac{ \epsilon_0S}{2d} (\epsilon + 1) = \dfrac{C_1}{2}(1 + \epsilon)$

Заряд q на пластинах конденсатора при этом остался прежним.

Энергия конденсатора была

$W_1 = \dfrac{q^2}{2C_1}$

и после погружения стала

$W_2 = \dfrac{q^2}{2C_2} = \dfrac{q^2}{C_1(1 + \epsilon)}$

Уменьшение  энергии равно

$\Delta W = W_1 - W_2 = \dfrac{q^2}{2C_1}- \dfrac{q^2}{C_1(1 + \epsilon)} =\dfrac{q^2}{2C_1} \cdot \dfrac{(\epsilon - 1)}{(\epsilon +1)}$

выразим отсюда ε

2C₁ · ΔW(ε + 1) = q²(ε - 1)

2C₁ · ΔW · ε + 2C₁ · ΔW = q²ε - q²            

q² + 2C₁ · ΔW = ε · (q² - 2C₁ · ΔW) =

$\epsilon = \dfrac{q^2 + 2C_1\cdot \Delta W}{q^2 - 2C_1\cdot \Delta W}$

С учетом того, что q = C₁U₁, получим

$\epsilon = \dfrac{C_1U_1^2 + 2\Delta W}{C_1U_1^2 - 2\Delta W} = \dfrac{60\cdot 10^{-12}\cdot 400^2 + 2\cdot 1.2\cdot 10^{-6}}{60\cdot 10^{-12}\cdot 400^2 - 2\cdot 1.2\cdot 10^{-6}} \approx1.7$