Question

Решить тригонометрическое уравнения:
1) 2sin2x + 5cosx - 4 = 0;
2) 2tgx - ctgx - 1 = 0;

3) 3sin2x - cos2x = 0;
4) 3sin2x + 4cos2x – 13sinx ∙cosx = 0;

5) 3sin2x - 2sinx ∙cosx = 3cos2x;
6) 3cos2x = 4sinx ∙cosx - sin2x​

Answer 1

https://znanija.com/task/38347082

Решить тригонометрическое уравнения:

1)     →  2sin2x + 5cosx  - 4 = 0      ? !

2) 2tgx - ctgx - 1 = 0 ;  

3) 3sin2x - cos2x = 0 ;

4) 3sin2x + 4cos2x – 13sinx ∙cosx = 0 ;

5) 3sin2x - 2sinx ∙cosx = 3cos2x ;

6) 3cos2x = 4sinx ∙cosx - sin2x​ .

Объяснение:          sin2x = 2sinx*cosx ;

sinφ = 2tg(φ/2) / (1+tg²(φ/2))  ; cosφ = (1 - tg(φ/2)) / (1 + tg²(φ/2) )  

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2) 2tgx - ctgx - 1 = 0 ⇔ 2tgx - 1/tgx - 1 = 0⇔2tg²x - tgx - 1 = 0  (квадратное уравнение относительно  tgx )     D =(-1)² -4*1*(-2) =1+8 =9 =3² ;

* * * замена:  t = tgx  ⇒ 2t² -t -1 = 0  ⇒ t= -1/2 или  t= 1 * * *

tgx₁,₂ = (1 ±3)/(2*2)    ⇒     tgx₁ = 1 ;  tgx₂ = - 1/2

x₁ =π/4 +π*k  ,   k ∈ℤ ;

x₂ = - arctg(1/2) +π*n  ,   n ∈ℤ .

- - - - - - -  

3) 3sin2x - cos2x = 0 ⇔ cos2x=3sin2x  (разделим обе части на sin2x ≠ 0) ⇔ ctg2x  = 3  ⇒2x = arcctg(3) + π*n , n ∈ ℤ ⇔

x = (1/2)*arcctg(3) + (π/2)*n ,n ∈ℤ .

4) 3sin2x + 4cos2x-13sinx ∙cosx =0⇔4cos2x+3sin2x -(13/2)*2sinxcosx=0⇔

4cos2x+3sin2x-(6,5)*sin2x=0 ⇔4cos2x =3,5sin2x ⇔cos2x=0,875sin2x ⇔ ctg2x= 0,875 ⇒2x= arcctg(0,875)+ π*n , n ∈ℤ ⇔

x= arcctg(0,875)+ (π/2)*n ,n ∈ℤ .

- - - - - - -

5) 3sin2x - 2sinx ∙cosx = 3cos2x ⇔ 3sin2x - sin2x = 3cos2x ⇔

⇔ sin2x  = 1,5cos2x ⇔ tg2x  = 1,5 ⇔ 2x  = arctg(1,5)+ π*n , n ∈ℤ ⇔

x = 0,5arctg(1,5)+ (π/2)*n ,n ∈ℤ .

6) 3cos2x=4sinx∙cosx - sin2x​⇔3cos2x =2sin2x - sin2x⇔sin2x =3cos2x⇔

tg2x  = 3 ⇒  2x  = arctg(3)+ π*n , n ∈ℤ  ⇔ x  = 0,5arctg(3)+ (π/2)*n ,n ∈ℤ .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *