Решить тригонометрическое уравнения:
1) 2sin2x + 5cosx - 4 = 0;
2) 2tgx - ctgx - 1 = 0;
3) 3sin2x - cos2x = 0;
4) 3sin2x + 4cos2x – 13sinx ∙cosx = 0;
5) 3sin2x - 2sinx ∙cosx = 3cos2x;
6) 3cos2x = 4sinx ∙cosx - sin2x
Ответы
https://znanija.com/task/38347082
Решить тригонометрическое уравнения:
1) → 2sin2x + 5cosx - 4 = 0 ? !
2) 2tgx - ctgx - 1 = 0 ;
3) 3sin2x - cos2x = 0 ;
4) 3sin2x + 4cos2x – 13sinx ∙cosx = 0 ;
5) 3sin2x - 2sinx ∙cosx = 3cos2x ;
6) 3cos2x = 4sinx ∙cosx - sin2x .
Объяснение: sin2x = 2sinx*cosx ;
sinφ = 2tg(φ/2) / (1+tg²(φ/2)) ; cosφ = (1 - tg(φ/2)) / (1 + tg²(φ/2) )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2) 2tgx - ctgx - 1 = 0 ⇔ 2tgx - 1/tgx - 1 = 0⇔2tg²x - tgx - 1 = 0 (квадратное уравнение относительно tgx ) D =(-1)² -4*1*(-2) =1+8 =9 =3² ;
* * * замена: t = tgx ⇒ 2t² -t -1 = 0 ⇒ t= -1/2 или t= 1 * * *
tgx₁,₂ = (1 ±3)/(2*2) ⇒ tgx₁ = 1 ; tgx₂ = - 1/2
x₁ =π/4 +π*k , k ∈ℤ ;
x₂ = - arctg(1/2) +π*n , n ∈ℤ .
- - - - - - -
3) 3sin2x - cos2x = 0 ⇔ cos2x=3sin2x (разделим обе части на sin2x ≠ 0) ⇔ ctg2x = 3 ⇒2x = arcctg(3) + π*n , n ∈ ℤ ⇔
x = (1/2)*arcctg(3) + (π/2)*n ,n ∈ℤ .
4) 3sin2x + 4cos2x-13sinx ∙cosx =0⇔4cos2x+3sin2x -(13/2)*2sinxcosx=0⇔
4cos2x+3sin2x-(6,5)*sin2x=0 ⇔4cos2x =3,5sin2x ⇔cos2x=0,875sin2x ⇔ ctg2x= 0,875 ⇒2x= arcctg(0,875)+ π*n , n ∈ℤ ⇔
x= arcctg(0,875)+ (π/2)*n ,n ∈ℤ .
- - - - - - -
5) 3sin2x - 2sinx ∙cosx = 3cos2x ⇔ 3sin2x - sin2x = 3cos2x ⇔
⇔ sin2x = 1,5cos2x ⇔ tg2x = 1,5 ⇔ 2x = arctg(1,5)+ π*n , n ∈ℤ ⇔
x = 0,5arctg(1,5)+ (π/2)*n ,n ∈ℤ .
6) 3cos2x=4sinx∙cosx - sin2x⇔3cos2x =2sin2x - sin2x⇔sin2x =3cos2x⇔
tg2x = 3 ⇒ 2x = arctg(3)+ π*n , n ∈ℤ ⇔ x = 0,5arctg(3)+ (π/2)*n ,n ∈ℤ .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *