Question

Решить неравенство: log (x-5) по основанию 1/3 > 1
Решить уравнение: log x по основанию 8 + log x по основанию корень из 2= 14
Решить неравенство: log (10-x) по основанию 1/6 + log (х-3) по основанию 1/6 >=(равно или больше) -1

Answer 1

=============== 1 ===============
$log_{ frac{1}{3} }(x-5) textgreater 1$
ОДЗ:
$x-5 textgreater 0\ x textgreater 5\\ log_{ frac{1}{3} }(x-5) textgreater log_{ frac{1}{3} } frac{1}{3}$
Т.к. $0 textless frac{1}{3} textless 1$, то:
$x-5 textless frac{1}{3} \ x textless frac{1}{3}+5\ x textless 5frac{1}{3}$
Учитывая ОДЗ, получаем:
$left { {x textgreater 5} atop {x textless 5frac{1}{3}}} right. \\ xin (5; 5frac{1}{3})$
=============== 2 ===============
$log_8x+log_{ sqrt{2} }x=14$
ОДЗ:
$x textgreater 0\\ log_{2^3}x+log_{2^{ frac{1}{2} } }x=14 cdot 1\ frac{1}{3} log_{2}x+2log_{2}x=14log_22\ log_{2}x^{ frac{1}{3}}+log_{2}x^2=log_22^{14}\ log_{2}(x^{ frac{1}{3}} cdot x^2)=log_22^{14}\ x^{frac{1}{3}+2}=2^{14}\ x^{frac{7}{3}}=2^{14}\ (x^{frac{7}{3}})^{ frac{3}{7} }=(2^{14})^{ frac{3}{7} }\ x=2^6\ x=64$
=============== 3 ===============
$log_ {frac{1}{6}} (10-x)+log_ {frac{1}{6}} (x-3) geq -1$
ОДЗ:
$left { {{10-x textgreater 0} atop {x-3 textgreater 0}} right. \\ left { {{-x textgreater -10} atop {x textgreater 3}} right. \\ left { {{x textless 10} atop {x textgreater 3}} right. \\ xin(3;10)\\ log_ {frac{1}{6}} (10-x)+log_ {frac{1}{6}} (x-3) geq -1cdot 1\ log_ {frac{1}{6}} (10-x) cdot (x-3) geq -1cdot log_ {frac{1}{6}}{frac{1}{6}}\ log_ {frac{1}{6}} (10x-30-x^2+3x) geq log_ {frac{1}{6}}{6}\ 10x-30-x^2+3x leq 6\ -x^2+13x-36 leq 0$
Разложим полученный квадратный трехчлен на множители:
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ -x^2+13x-36 =0\ D=169-4cdot(-1) cdot (-36)=169-144=25\ x_1= frac{-13+5}{-2} = frac{-8}{-2}=4\ x_2= frac{-13-5}{-2} = frac{-18}{-2}=9\ -x^2+13x-36 =-(x-4)(x-9)\ -(x-4)(x-9)leq 0\xin (-infty;4] cup [9;+infty)$
Учитывая ОДЗ, получаем:
$left { {xin(3;10) atop xin (-infty;4] cup [9;+infty)} right. \\xin (3;4] cup [9;10)} right$