Из чисел от 1 до 100 выбирают два числа, разность которых равна 7, а произведение делится на 20. Сколькими способами это можно сделать? (в ответе укажите только число)
Ответы
140 и 420
7*20=140
(7*20)+(7*20)=420
Обозначим искомые числа через a и b и положим a>b. По условию a - b = 7 и ab = 20k, где k - натуральное. Тогда b = a - 7 и a(a - 7) = 20k или a^2 - 7a - 20k = 0. По теореме Виета a1*a2 = -20k и a1 + a2 = 7. Отсюда видим, что по крайней мере одно из чисел a1 или a2 должно быть кратно 5 и одно из них кратно 4. Находим все пары чисел, удовлетворяющие этому условию:
a1 =12, a2 = -5, значит a = 12, b = 5
a = 15, b = 8
a = 20, b = 13
a = 27, b = 20
a = 32, b = 25
a = 35, b = 28
a = 40, b = 33
a = 45, b = 38
a = 52, b = 45
a = 55, b = 48
a = 60, b = 53
a = 67, b = 60
a = 72, b = 65
a = 75, b = 68
a = 80, b = 73
a = 87, b = 80
a = 92, b = 85
a = 95, b = 88
a = 100, b = 93
Всего 19 пар чисел, следовательно имеем 19 способов выбора таких пар чисел.
Ответ: 19.