Question

Найдите неопределенный интеграл
$x \cos2x dx$
$x \sin( \frac{x}{3} ) dx$

​

Answer 1

Чтобы найти неопределенный интеграл произведения двух непрерывных функций, следует воспользоваться методом интегрирования по частям:

$\boxed{\displaystyle \int u\,dv = uv - \int v \, du}$

$1) ~ \displaystyle \int x \cos 2x \, dx = \left | {{u = x, ~ du = dx} \atop {dv = \cos 2x \, dx, ~ v = \dfrac{1}{2}\sin 2x }} \right |=$

$= \dfrac{1}{2} x \sin 2x - \displaystyle \int \dfrac{1}{2} \sin 2x \, dx = \dfrac{1}{2} x \sin 2x + \dfrac{1}{4} \cos 2x + C$

$2) \ \displaystyle \int x \sin \frac{x}{3} \, dx = \left | {{u = x, ~ du = dx} \atop {dv = \sin \dfrac{x}{3}\, dx, ~ v = -3\cos \dfrac{x}{3} }} \right|=$

$= -3x\cos \dfrac{x}{3} + \displaystyle \int 3\cos \frac{x}{3} \, dx = -3x\cos \dfrac{x}{3} + 9\sin \frac{x}{3} + C$