Question

Вычислите неопределенный интеграл методом замены:

Answer 1

Ответ:$\frac{(\sqrt{3} +\sqrt{2} )(2\sqrt{6}+2\sqrt{2} +\sqrt{3} -6)}{2}$

Пошаговое объяснение:

Прежде чем считать сам интеграл найдем:

$cos(\frac{\pi }{12} ) = cos(\frac{\pi }{3} -\frac{\pi }{4} ) = \frac{\sqrt{3} }{2} *\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{1}{2} *\frac{\sqrt{2} }{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} }{4} \\\frac{1}{cos(\frac{\pi }{12} )-1 } = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2} -4 } = \frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2}+4) }{-8+4\sqrt{3} } = \frac{\sqrt[]{6}+\sqrt{2}+4 }{\sqrt{3}-2 } = -(\sqrt[]{6}+\sqrt{2}+4)(\sqrt{3}+2) \\\frac{1}{cos(\pi)-1 } = -\frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) }{2}$

Теперь перейдем к самому интегралу:

$\int\limits^\pi _\frac{\pi }{12} {\frac{sin(x)}{cos(x)-1} } \, dx =| 1-cos(x)=t ; sin(x)=dt|= \int\limits^2 _\frac{4-\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4} {\frac{1}{t^2} \, dt=-\frac{1}{t}| \limits^2 _\frac{4-\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}$

$-\frac{1}{t}| \limits^2 _\frac{4-\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4} = \frac{1}{cos(\pi)-1 } -\frac{1}{cos(\frac{\pi }{12})-1 } = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) }{2} +(\sqrt{6} +\sqrt{2} +4)(\sqrt{3} +\sqrt{2})=\\=\frac{(\sqrt{3} +\sqrt{2} )(2\sqrt{6}+2\sqrt{2} +\sqrt{3} -6)}{2}$

Answer 2

-sinxdx=d(cosx)=d(cosx-1)

замена cosx-1=у

у верхн. =сosπ=-1-1=-2

у нижн.=сosπ/12-1

-∫y⁻²dy=1/y

подставим пределы интегрирования. получим

1/(-2)-1/(сosπ/12-1)

сosπ/12=сos(π/3-π/4)= сos(π/3)*сos(π/4)+sin(π/4)*sin(π/3)=

(1/2)*(√2/2)+(√2/2)*(√3/2)=(√2/4)(√3+1)

1/(-2)-1/(сosπ/12-1)=-1/2-1/((√2/4)(√3+1)-1)=-1/2-4/(√2+√6-4)

=(-8-√2-√6+4)/(√2+√6-4)=-(√2+√6+4)/(√2+√6-4)=(√2+√6+4)/(-√2-√6+4)=

(4+√2+√6)/(4-√2-√6)