Question

Вычистите неопределенный интеграл методом замены:

Answer 1

Ответ:

$3\sqrt3-3$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle t =\frac\pi4 -\frac13x\\dt=-\frac13dx\\\int {\frac1{\sin^2( \frac13x-\frac\pi4)}} \, dx =\int {\csc^2( \frac\pi4 -\frac13x)}} \, dx=-3\int {\csc^2t} \, dt =\\-3\tan t=\bf-3\tan (\frac13x-\frac\pi4)+const$

Определённый - $f(\pi)-f(0)$

$\displaystyle f(\pi)=-3*\tan(\frac\pi3-\frac\pi4)=-3*\frac{\tan\frac\pi3+\tan\frac\pi4}{1-\tan\frac\pi3\tan\frac\pi4} =-3(2-\sqrt3)=3\sqrt3-6$

$\displaystyle f(0)=-3\tan(-\frac\pi4)=3$

$f(\pi)-f(0)=3\sqrt3-6-3=3\sqrt3-3$

Answer 2

Ответ: $-3(1+\sqrt{3} )$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^\pi _0 {\frac{1}{sin^2(\frac{x}{3} -\frac{\pi }{4}) } } \, dx= |\frac{x}{3} -\frac{\pi }{4}=t ;dx=3dt| = \int\limits^\frac{\pi }{12} _\frac{-\pi }{4} {\frac{3}{sin^2(t) } } \, dt=-3ctg(t) }|\limits^\frac{\pi }{12} _\frac{-\pi }{4} =\\=-3ctg(\frac{\pi }{12} )-3ctg(-\frac{\pi }{4}) =-3ctg(\frac{\pi }{12} )+3= -3ctg(\frac{\frac{\pi }{6}}{2} )+3 =\\= -3*(\frac{1+cos(\frac{\pi }{6} )}{sin(\frac{\pi }{6}) } )+3 =-6(1+\frac{\sqrt{3} }{2} ) +3 = -3(1+\sqrt{3} )$