Question

Помогите с системой уравнения
$\left \{ {{2x+2y-x^2y^2=-6} \atop {x+y+xy=-3}} \right.$
Пусть xy=a ; x+y=b

Распишите пожалуйста!

Answer 1

$\left \{ {{2x+2y-x^2y^2=-6} \atop {x+y+xy=-3}} \right. => \left \{ {{2(x+y)-(xy)^2=-6} \atop {(x+y)+xy = -3}} \right. => \left \{ {{2b-a^2=-6} \atop {b+a=-3}} \right. =>\left \{ {{b=-a-3} \atop {2(-a-3)-a^2=-6}} \right. => \left \{ {{b = -(a+3)} \atop {-2a-6-a^2=-6}} \right. => \left \{ {{b = -(a+3)} \atop {a(a+2)=0}} \right.$

Решая второе уравнение системы получим, что либо a = 0 либо a = -2. Соответственно, b = -3 либо b = -1. Решим систему для a = 0 и b = -3:

$\left \{ {{xy = 0} \atop {x+y=-3}} \right. => \left \{ {{xy=0} \atop {x = -y - 3}} \right. =>\left \{ {{-y(y+3)=0} \atop {x = -(y+3)}} \right.$

Значит, y = 0 либо y = -3, а x, соответственно, равен либо -3, либо 0. Первые две пары решений найдены: (-3; 0) и (0; -3)

Теперь рассмотрим a = -2 и b = -1:

$\left \{ {{xy = -2} \atop {x+y=-1}} \right. => \left \{ {{x = -y-1} \atop {-(y+1)y=-1}} \right. => \left \{ {{x = -(y+1)} \atop {y^2+y-1=0}} \right.$

Решая второе уравнение системы получим $y_1_,_2 = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Значит, соответствующие x будут иметь вид: $x_1_,_2 = -(\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} +1) = -(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}) = \frac{-1\mp\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, получены еще две пары решений:

$(-\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}); (\frac{\sqrt{5}-1}{2}; -\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

Ответ: $(-3;0); (0; -3); (-\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}); (\frac{\sqrt{5}-1}{2}; -\frac{1+\sqrt{5}}{2})$