Question

найдите все решения уравнения x²+5y²+4xy+2y+1=0​

Answer 1

Ответ:

Действительные решения: (2; -1)

Мнимые: $y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(x-2)^2}-2x} )$

Объяснение:

$\displaystyle x^2+5y^2+4xy+2y+1=0\\5y^2+4xy+2y+x^2+1=0\\5y^2+(4x+2)y+(x^2+1)=0\\y^2+\frac{1}{5}y (4x+2)+\frac{1}{5} (x^2+1)=0\\y^2+\frac{1}{5}y (4x+2)=-\frac{1}{5} (x^2+1)\\y=\frac{-4x-2\pm\sqrt{(4x+2)^2-20(x^2+1)} }{10} \\y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(x-2)^2}-2x} )$

Уравнение будет иметь действительные корни только если подкоренное выражение больше или равно 0 : $-(x-2)^2\geq 0$. А так как квадрат неотрицателен, то подкоренное выражение не положительно. Но Такое возможно только если оно равно 0. Решим это уравнение:

$-(x-2)^2=0\\(x-2)^2=0\\x-2=0\\x=2$

Подставим это значение в уравнение:

$y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(x-2)^2}-2x} )\\y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(2-2)^2}-2*2} )\\y=\frac{1}{5}(-1\pm 0-4} )\\y=\frac{1}{5}(-1-4} )\\y=\frac{1}{5}(-5} )\\y=-1$