Question

у десятичной записи числа 2 в 2020 степени посчитали сумму цифр. У этой суммы снова посчитали сумму цифр и так далее, пока не осталась 1 цифра, какая?

Answer 1

Ответ:

7

Пошаговое объяснение:

Вспомним признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.

Этот признак работает и для равноостаточности при делении на 9. То есть, число и его сумма цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9.

Пусть $a_1$ - изначальное число и $a_n$ - сумма цифр числа $a_n_-_1$. Пусть остаток при делении на 9 у числа $a_1$ - r, тогда и у числа $a_2$ остаток при делении на 9 тоже r. Но тогда и у чисел $a_3,a_4,a_5,...a_n$ остаток при делении на 9 равен r. Но так как r - чисто от 0 до 9, то это и есть наша оставшаяся в конце цифра.

Тогда нам нужно всего лишь найти остаток при делении на 9 у числа  $2^2^0^2^0$. А он такой же, как у числа $16^5^0^5$, и такой же, как у числа $(16-9)^5^0^5$, и такой же, как у числа $7*49^2^5^2$, а он такой же, как у числа $7*1^1^2^6$, а это равно 7.