Предмет: Алгебра, автор: saidastan

неопределенный интеграл​

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Аноним
1

Ответ:

-\frac{2}{3} cos^{\frac{2}{3}}(x)+const

Объяснение:

\int\ {sin(x)*\sqrt{cos(x)} } \, dx =\int\ {-(cos(x))'*\sqrt{cos(x)} } \, dx=-\int\ {\sqrt{cos(x)}*(cos(x))' } \, dx

По формуле \int {f(x)g'(x)} \, dx =\int {f(x)} \, d(g(x))

-\int\ {\sqrt{cos(x)}*(cos(x))' } \, dx=-\int\ {\sqrt{cos(x)} } \, d(cos(x))

Пусть теперь t = cos(x),  тогда

-\int\ {\sqrt{cos(x)} } \, d(cos(x))=-\int\ {\sqrt{t} } \, dt=-\int\ {t^н } \, dt=-\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3}}+const

По формуле интеграла степенной функции: \int {x^a} \, dx =\frac{x^a^+^1}{a+1} +const

-\int\ {t^н } \, dt=-\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+const

Учитывая нашу замену, запишем:

-\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+const=-\frac{2}{3} cos(x)^{\frac{3}{2}}+const=-\frac{2}{3} cos^{\frac{3}{2}}(x)+const

Автор ответа: mionkaf1
0

\displaystyle\\\int \sin(x)*\sqrt{\cos{x}}\ dx = \{t=\cos(x)\ \ dt=-\frac{1}{\sin(x)} \}\Rightarrow \int \sin(x)*\sqrt{\cos(x)}dx=\\\\\\=\int \sin(x)*\sqrt{\cos(x)}*\bigg(-\frac{1}{\sin(x)}\bigg)dt=\int-\sqrt{\cos(x)}dt=\int-\sqrt{t}\ dt=\\\\\\=-\frac{2t\sqrt{t}}{3}=\{t=\cos(x)\}=-\frac{2\cos(x)\sqrt{\cos(x)}}{3}+C

Похожие вопросы