Question

Выяснить, при каком значении а многочлен P(х) делится на многочлен Q(х)
P(х)= -4х^2+ах+5, Q(х)= 4х+5

Answer 1

Ответ:   $a=-1\ .$

$P(x)=-4x^2+ax+5\ \ ,\ \ Q(x)=4x+5$

Воспользуемся теоремой Безу: остаток от деления многочлена $P(x)$  на двучлен  $(x-x_0)$  равен  $P(x_0)$  .

Тогда число $x_0$ - корень многочлена  $P(x)$  тогда и только тогда, когда  P(x) делится без остатка на двучлен  $(x-x_0)$ .

$Q(x)=0\ \ \Rightarrow \ \ 4x+5=0\ \ x_0=-\dfrac{5}{4}\ ,\ \ x_0=-1,25\\\\P(x)\, \. :\, Q(x)\ \ \Rightarrow \ \ P(-1,25)=0\ \ ,\\\\P(-1,25)=-4(-1,25)^2-1,25\, a+5=-1,25\, a-1,25=0\ \ ,\ \ 1,25\, a=-1,25\\\\\boxed {a=-1\ }$

или

$-4x^2+ax+5\ \ \Big|\ 4x+5\\{}-4x^2-5x\quad \ \ \ ------\\\ -------\ \ \ -x+\frac{a+5}{4}\\{}\ \ \ \ (a+5)x+5\\{}\ \ \ \ (a+5)x+5\\{}\ \ \ ------\\{}\qquad \ \ \ \qquad \ \ \ 0$

$\dfrac{a+5}{4}\cdot 5=5\ \ \ \to \ \ \ \dfrac{a+5}{4}=1\ \ ,\ \ \ a+5=4\ \ ,\ \ \ \boxed {\ a=-1\ }$