Question

Петя задумал число, сложил его квадрат с его кубом и сообщил полученный результат Васе. Однако Вася не смог однозначно определить Петино число. Какое максимальное число мог задумать Петя?
Числа могут быть нецелыми, отрицательными и т.д.
(P.S.: правильный ответ 1/3, но надо доказать)

Answer 1

Ответ:

$x=\frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Пусть Петя задумал число х, тогда число, которое он сообщил Васе - $x^2+x^3$. Так как Вася не смог определить его число, а это значит, что корней у уравнения $x^2+x^3=a$ относительно х больше одного.

Решим это уравнение:

$x^2+x^3=a\\x^3+x^2-a=0$

Записав формулу Кардано,

$x=\frac{1}{3} (\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{3}\sqrt{27a^2-4a}+27a-2} }{\sqrt[3]{2}} + (\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{3}\sqrt{27a^2-4a}+27a-2} }{\sqrt[3]{2}})^-^1-1)$

мы получим, что не комплексные корни относительно а - это только $\frac{4}{27}$, а для такого значения а относительно х имеется 2 корня - $-\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$. Наибольший из них конечно же $x=\frac{1}{3}$.

Если нужно подробно записать формулу Кардано, напишите!