Question

Даны векторы ε1(3;1;6), ε2(-2;2;-3), ε3(-4;5;-1), X(3;0;1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.

Answer 1

$\vec{e}_1=(3;1;6)\ ,\ \ \vce{e}_2=(-2;2;-3)\ ,\ \ \vec{e}_3=(-4;5;-1)\ ,\ \ \vec{x}=(3;0;1)\\\\1)\ \ \left|\begin{array}{ccc}3&-2&-4\\1&2&5\\6&-3&-1\end{array}\right|=3\, (-2+15)+2\, (-1-30)-4\, (-3-12)=37\ne 0\ \ \Rightarrow$

Значит векторы образуют базис .

$2)\ \ \vec{x}=\alpha \vec{e}_1+\beta \vec{e}_2+\gamma \vec{e}_3\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\left\{\begin{array}{l}3\alpha -2\beta -4\gamma =3\\\alpha +2\beta +5\gamma =0\\6\alpha -3\beta -\gamma =1\end{array}\right\ \ \left(\begin{array}{rrrr}1&2&5&\ |\ 0\\3&-2&-4&|\ 3\\6&-3&-1&|\ 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rrrr}1&2&5&|\ 0\\0&-8&-19&|\ 3\\0&-15&-31&|\ 1\end{array}\right)\sim$

$\sim \left(\begin{array}{rrrr}1&2&5&|\ \, 0\\0&-8&-19&|\ \, 3\\0&0&-37&|\, 37\end{array}\right)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{rrrr}\alpha +2\beta +5\gamma =0\\-8\beta -19\gamma =3\\-37\gamma =37\end{array}\right\\\\\\\gamma =-1\\\\-8\beta =3+19\gamma =3-19=-16\ \ ,\ \ \beta =2\\\\\alpha =-2\beta -5\gamma =-4+5=1\ \ ,\ \ \alpha =1\\\\\\\boxed {\ \vec{x}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2-\vec{e}_3\ }$