Question

Cледом квадратной матрицы называется сумма элементов её
главной диагонали. Доказать, что для любых матриц A и B таких, что имеют
смысл оба произведения AB и BA, следы матриц AB и BA совпадают

Answer 1

Пусть даны матрицы $A_{a\times b}=(a_{ij})_{a\times b}, B_{c\times d}=(b_{ij})_{c\times d}$. Т.к. определено произведение $AB$, $b=c$. Т.к. определено произведение $BA$, $d=a$.

А значит даны матрицы $A_{a\times b}, B_{b\times a}$

Пусть $AB=C_{a\times a}=(c_{ij})_{a\times a}, BA=D_{b\times b}=(d_{ij})_{b\times b}$ .

По определению, $trC=\sum\limits_{i=1}^ac_{ii}$ . $c_{ii}$ - сумма произведений соответствующих элементов iой строки матрицы A и iого столбца матрицы B, т.е. $c_{ii}=\sum\limits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$ => $trC=\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$

Аналогично $trD=\sum\limits_{i=1}^b\sum\limits_{j=1}^ab_{ij}a_{ji}$

Т.к. пределы суммирования не зависят от переменных, то знаки суммирования можно поменять местами: $trD=\sum\limits_{i=1}^b\sum\limits_{j=1}^ab_{ij}a_{ji}=\sum\limits_{j=1}^a\sum\limits_{i=1}^bb_{ij}a_{ji}$

А теперь заметим, что, переобозначив переменные $[i\to j;j\to i]$, получим $\sum\limits_{j=1}^a\sum\limits_{i=1}^bb_{ij}a_{ji}=\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^bb_{ji}a_{ij}=\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^ba_{ij}b_{ji}$ - а это и означает, что $trC=trD$

Ч.т.д.