Question

найти пять последовательных натуральных чисел таких что сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов двух последних чисел.

Answer 1

Ответ:

Условию удовлетворяет только одна пятерка последовательных натуральных чисел:

10; 11; 12; 13; 14

и

10²+11²+12² = 13²+14² = 365

Объяснение:

Пусть, x - первое число последовательности.

Т.к. нам нужны пять последовательных натуральных (то есть целых, неотрицательных) чисел, то они будут выглядеть так:

x; x+1; x+2; x+3; x+4

Причем x > 0

Известно, что равны:

- сумма квадратов первых трёх чисел

- сумма квадратов двух последних чисел.

т е.

$\left x^{2} + (x+1)^{2} + (x+2)^{2} = \\ = (x+3)^{2} + (x+4) ^{2}$

Преобразуем, раскрыв скобки:

$\left x^{2} + (x ^{2} + 2x +1) + (x^{2} + 4x + 4) = \\ = (x^{2} + 6x + 9) + (x^{2} + 8x + 16) \\ 3x^{2} + (2 + 4)x +(1 + 4) = 2x^{2} + (6 + 8)x + (9 + 16) \\ 3x^{2} + 6x +5 = 2x^{2} + 14x + 25 \\ x^{2} - 8x - 20 =0$

По Т. Виетта:

$(x - 10)(x + 2) = 0 \\ x_{1} = - 2; \: \: x_{2} = 10$

или через дискр-нт. Т.к. b четное, возьмем D/4:

$D/4 = (b/2)^2-ac$

а корни будут равны

$x = \frac{- b \: ± \: \sqrt{D/4} }{a}$

$D/4=4^2 - 4 \cdot 1 \cdot(-20) = 16+20=36\\ </p><p>x=-(-4)±\sqrt{36} = 4 ±6 \: \\ x_1=4 +6 = 10 > 0 \\ x_2=4 - 6 = - 2 < 0$

Так как в условии указано, что числа - последовательные натуральные, значение

x= -2 - не подходит, т.к. число -2 отрицательное и не является натуральным

Следовательно, первое число из пяти искомых - это 10, а вся последовательность имеет вид:

10; 11; 12; 13; 14

Проверим - и действительно:

$10 {}^{2} + 11 {}^{2} + 12 {}^{2} = 100 + 121 + 144 = 365 \\ 13 {}^{2} + 14^{2} = 169 + 196 = 365$

сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов двух последних чисел.