Question

Помогите пожалуйста, умные люди! 11кл.
а) Первый член возрастающей геометрической прогрессии равен 4. Сумма четвертого и седьмого членов равна 3024. Вычислите сумму первых шести членов.
б) Первый член возрастающей геометрической прогрессии равен 2. Сумма третьего и пятого членов равна 180. Вычислите сумму первых пяти членов.​

Answer 1

Ответ:

a) S₆=1456

б) S₅=242

Объяснение:

a) b₁=4 - по условию

n-ый член геометрической прогрессии

$b_n=b_1*q^{n-1}$

$b_4+b_7=3024 \\ b_1q^3+b_1q^6=3024 \\ 4q^3+4q^6=3024 \ \ |:4 \\ q^3+q^6=756$

Замена: q³=t, тогда q⁶=t²

$t+t^2=756 \\ t^2+t-756=0 \\ D=1+4*756=3025=55^2 \\ \\ t_1=\frac{-1+55}{2}= 27 \\ \\ t_2=\frac{-1-55}{2} =-28$

Так как прогрессия возрастающая, то q>1 ⇒ q³=t>1

Значит t=-28 нам не подходит

$t=27\\q^3=27 \\ q=\sqrt[3]{27}=3$

Сумма первых n членов:

$S_n=b_1*\frac{q^n-1}{q-1} \\ \\ S_6=4*\frac{3^6-1}{3-1}=4*\frac{728}{2}= 1456$

б) b₁=2 - по условию

n-ый член геометрической прогрессии

$b_n=b_1*q^{n-1}$

$b_3+b_5=180 \\ b_1q^2+b_1q^4=180 \\ 2q^2+2q^4=180 \ \ |:2 \\ q^2+q^4=90$

Замена: q²=t, тогда q⁴=t²

$t+t^2=90 \\ t^2+t-90=0 \\ D=1+4*90=361=19^2 \\ \\ t_1=\frac{-1+19}{2}=9 \\ \\ t_2=\frac{-1-19}{2} =-10$

Так как прогрессия возрастающая, то q>1 ⇒ q²=t>1

Значит t=-10 нам не подходит

$t=9\\q^2=9 \\ q=\pm\sqrt{9}=\pm 3$

Опять же прогрессия возрастающая, значит q>1, поэтому q=-3 нам не подходит

Сумма первых n членов:

$S_n=b_1*\frac{q^n-1}{q-1} \\ \\ S_5=2*\frac{3^5-1}{3-1}=2*\frac{242}{2}= 242$