Question

Найти общий вид первообразной для f(x)= 2x² + 3/x⁴+√x+2

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \tt F(x)=\frac{2 \cdot x^3}{3} - \frac{1}{x^{3}} +\frac{2 \cdot \sqrt[3]{x^2} }{3} +2 \cdot x+C$

Объяснение:

Дана функция

$\displaystyle \tt f(x)= 2 \cdot x^2+\frac{3}{x^4}+\sqrt{x} +2.$

Применим табличный интеграл:

$\displaystyle \tt \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C, n\neq -1.$

Находим общий вид первообразной для функции:

$\displaystyle \tt F(x)=\int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits {(2 \cdot x^2+\frac{3}{x^4}+\sqrt{x} +2 )} \, dx = \\\\= \int\limits {(2 \cdot x^2)} \, dx + \int\limits {\frac{3}{x^4}} \, dx + \int\limits {\sqrt{x}} \, dx + \int\limits {2} \, dx = \\\\ = 2 \cdot \int\limits {x^2} \, dx + 3 \cdot \int\limits {x^{-4}} \, dx + \int\limits {x^{0,5}} \, dx +2 \cdot \int\limits {1} \, dx =$

$\displaystyle \tt = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} +\frac{x^{0,5+1}}{0,5+1} +2 \cdot x+C=\\\\=\frac{2 \cdot x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} +\frac{x^{1,5}}{1,5} +2 \cdot x+C=\\\\=\frac{2 \cdot x^3}{3} - \frac{1}{x^{3}} +\frac{2 \cdot \sqrt[3]{x^2} }{3} +2 \cdot x+C.$