Question

Какие две системы получатся при решении данной системы способом введения новых переменных?

Введи ответ
(первой записывай пару чисел с меньшим значением x)​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{x}{y} =-\dfrac{1}{2} } \atop {x \cdot y=19}} \right.,\\\\ \left \{ {{\dfrac{x}{y} =\dfrac{2}{1} } \atop {x \cdot y=19}} \right.$

Объяснение:

Рассматривается нелинейная система уравнений

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{x}{y} -\dfrac{y}{x} =\dfrac{3}{2} } \atop {x \cdot y=19}} \right. .$

Область допустимых значений системы

x≠0, y≠0 ⇔ x∈(-∞; 0)∪(0; +∞), y∈(-∞; 0)∪(0; +∞).

Так как x≠0 и y≠0, то в первом уравнении введём новую переменную:

$\displaystyle \tt z=\dfrac{x}{y} \Leftrightarrow \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{z}$

и получим уравнение

$\displaystyle \tt z-\dfrac{1}{z}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow z^2-\frac{3}{2} \cdot z -1=0.$

Решаем последнее квадратное уравнение

$\displaystyle \tt D=(-\dfrac{3}{2} )^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-1) = \dfrac{9}{4} +4=\dfrac{25}{4} = (\dfrac{5}{2} )^{2},\\\\z_1=\frac{\dfrac{3}{2} -\dfrac{5}{2} }{2 \cdot 1} =\frac{-\dfrac{2}{2} }{2} =-\dfrac{1}{2},\\\\z_2=\frac{\dfrac{3}{2} +\dfrac{5}{2} }{2 \cdot 1} =\frac{\dfrac{8}{2} }{2} =\dfrac{4}{2} =2.$

Для каждого значения z получаем систему уравнений:

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{x}{y} =-\dfrac{1}{2} } \atop {x \cdot y=19}} \right.,$

$\displaystyle \tt \left \{ {{\dfrac{x}{y} =\dfrac{2}{1} } \atop {x \cdot y=19}} \right.,$

что и требовалась в условии задачи.