Question

докажите, что при любом натуральном n число n^3+3n^2+6n+8 является составным

Answer 1

Если взять самое маленькое натуральное число 1, то

1^3+3*1^2+6*1+8=18 

 

или 

 

(n+2)(n^2-2n+4)+3n(n+2)

(n+2)(n^2-2n+4+3n)

(n+2)(n^2+n+4)

скобки никогда не могут быть ровны при натуральных числах поэтому число всегда будет составное

Answer 2

$displatstyle nin mathbb{N} Rightarrow (n^3 +3n^2 +6n+8)in mathbb{N}$ т.к. произведение и сумма натуральных чисел равны натуральному числу.

Натуральное число ОБЯЗАТЕЛЬНО, либо составное, либо простое.

$displatstyle n^3 +3n^2 +6n+8=\=(n^3 +2^3)+(3n^2 +6n)=\=(n+2)(n^2 -2n+4)+3n(n+2)=\=(n+2)(n^2 -2n+4+3n)=\=(n+2)(n^2 +n+4)$

Любое простое число можно представить как произведение 1 и самого себя. Если выражение это простое число, то хотя бы один из множителей равен 1.

(n+2) ≥ 3 при $displatstyle nin mathbb{N}$

(n²+n+4) ≥ 6 при $displatstyle nin mathbb{N} .$ Т.к. при минимальном n=1, выражение равно 6. А чем больше n, тем больше значение выражения.

Итог: ни один из множителей не может равняться 1, поэтому выражение не может быть простым числом. А значит оно составное.