Question

Помогите решить уравнение arccos(x)=arctg(x/sqrt(1-x2))

Answer 1

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Объяснение:

$arccos(x) = arctg(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} )\\arccos(x) - arctg(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} ) = 0\\cos(arccos(x) - arctg(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} )) = 1\\cos(arccos(x))*cos(-arctg(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}))-sin(arccos(x))*sin(arctg(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}))$

Далее мы получаем, что

$cos(arccos(y)) = y\\cos(-arctg(y)) = \frac{1}{\sqrt{y^2+1}} \\sin(arccos(y)) = \sqrt{1-y^2}\\sin(-arctg(y))=-\frac{y}{\sqrt{y^2+1} }$

все это следует из основного тригонометрического тождества

Заменяем все по формулам:

$\frac{2x}{\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2} +1} } =1\\2x=\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2} +1} \\\frac{x^2}{1-x^2} +1=4x^2\\-\frac{1}{x^2-1} =4x^2\\-1=4x^2(x^2-1)\\x^2(x^2-1)=-\frac{1}{4} \\x^4-x^2+\frac{1}{4} =0$

Заменим квадрат х на у и решим квадратное уравнение

$y^2-y+1/4=0\\(y-1/2)^2=0\\y=1/2$

Вспомним, что $y = x^2$

$x^2=1/2\\x=\sqrt{2} /2\\x=-\sqrt{2} /2$

проверим корни -

$arccos(\sqrt{2}/2)=\pi/4\\arctg(\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{1-1/2}})=\pi/4$

положительный корень подходит.

$arccos(-\sqrt{2}/2)=3\pi/4\\arctg(-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-1/2}} =-\pi/4$

отрицательный не подходит.

отсюда ответ - $\sqrt{2}/2$