Question

Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению (x - 4)^2n + (x - 3)^n - 1, где n является натуральным, делится нацело га многочлен x^2 - 7x + 12

Answer 1

$f(x)=(x - 4)^{2n} + (x - 3)^n - 1\\ x^2 - 7x + 12=(x-3)(x-4)\\ f(3)=(3 - 4)^{2n} + (3 - 3)^n - 1=(-1)^{2n} + 0^n - 1=0=>f(x)\vdots (x-3)\\ f(4)=(4 - 4)^{2n} + (4 - 3)^n - 1=(0)^{2n} + 1^n - 1=0=>f(x)\vdots (x-4)$

$(x-3)$ и $(x-4)$ неприводимы над $C$ (их степень равна 1) . А значит $f(x)\vdots((x-3)(x-4))=x^2 - 7x + 12$

Ч.т.д.

_____________________

В решении использована Теорема Безу: остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a)}$.