Question

Постойте взаимно однозначное отображение отрезка [0;1] на полуинтервал [0;1). С объяснением

Answer 1

Обозначим $A=\{x|x=\dfrac{1}{n+1}, n\in N\}=\{\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},...\}$ - очевидно, счетное множество. Заметим, что $A\subset [0;1],A\subset [0;1)$, при этом $[0;1]\backslash (A\cup \{1\})=[0;1)\backslash A$. Тогда элементы множества $[0;1)\backslash A$ можно отразить на самих себя, и при этом построить  взаимно однозначное отображение счетного множества  $A\cup\{1\}$ на А

Построим отображение $f:[0;1]\to[0;1)$

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{1}{n+1}, x=\dfrac{1}{n}, n\in N\\x,x\neq\dfrac{1}{n}, n\in N\end{array}\right.$

При этом, очевидно, разные элементы $[0;1]$ переходят в разные элементы $[0;1)$, и при этом, очевидно, для каждого элемента [0;1) существует прообраз в [0;1], т.е. существует и обратное отображение $f^{-1}:[0;1)\to[0;1]$

$f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{c}\dfrac{1}{n}, x=\dfrac{1}{n+1}, n\in N\\x,x\neq\dfrac{1}{n+1}, n\in N\end{array}\right.$  

А значит $f$ - искомая биекция