Question

решите пожалуйста
$2cos {}^{2} (3x )+ \sin(5x) = 1$
​

Answer 1

Ответ:

$\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11}, \ n \in \mathbb{Z}$

Объяснение:

$2cos^2(3x)+sin(5x)=1 \\ \\ 2cos^2(3x)-1+sin(5x)=0 \\ \\ cos(6x)+sin(5x)=0 \\ \\ cos(6x)+cos\left( \frac{\pi}{2}-5x \right)=0 \\ \\ 2*cos\frac{6x+\frac{\pi}{2}-5x}{2} *cos\frac{6x-\frac{\pi}{2}+5x}{2}=0 \\ \\ 2*cos \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right)*cos \left( \frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)=0$

$\left[ \begin{gathered} cos \left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right)=0\\ cos \left( \frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)=0\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}+\pi n \\ \frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}+\pi n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2} =-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\pi n \\ \frac{11x}{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\pi n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{x}{2} =\frac{\pi}{4}+\pi n \ \ |*2 \\ \frac{11x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \ \ |*\frac{2}{11} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \\ x=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11}, \ n \in \mathbb{Z} \end{gathered} \right.$

Также можно заметить, что все корни вида x=π/2 + 2πn являются частью решения x=3π/22 +2πn/11, n∈Z.

Покажем это!

1) При n=0 первый корень: x=π/2 +2π*0=π/2

$\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11} \ \ |*\frac{22}{\pi} \\ \\ 11=3+4n \\ 4n= 8 \\ n=2 \in \mathbb{Z}$

То есть для корней: x=3π/22 +2πn/11 нашлось такое целое n, при котором мы получили корень π/2

2) При n=1 получаем корень: x=π/2 +2π*1=π/2 +2π=5π/2

$\frac{5\pi}{2}=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11} \ \ |*\frac{22}{\pi} \\ \\ 55=3+4n \\ 4n= 52 \\ n=13 \in \mathbb{Z}$

Опять же для корней: x=3π/22 +2πn/11 нашлось такое целое n, при котором мы получили корень 5π/2, то есть проходя единичный круг, можно снова попасть в точку π/2 + 2πn, значит и пройдя круг k-раз можно найти такое целое n, при котором из корней x=3π/22 +2πn/11, будут следовать корни x=π/2 +2πn