Question

Решить систему уравнений

Answer 1

Преобразуем первое уравнение системы:

$y^2-5y+6+x-x^2 = 0\\y^2 - 5y + 6.25 - 0.25 + x - x^2 = 0\\(y^2 - 2 * \frac{5}{2}y + (\frac{5}{2})^2) - (x^2 - 2*\frac{1}{2}x + (\frac{1}{2})^2)=0\\ (y-\frac{5}{2})^2 - (x-\frac{1}{2})^2=0\\ (y-\frac{5}{2}-x+\frac{1}{2})(y-\frac{5}{2}+x-\frac{1}{2})=0\\ (-x+y-2)(x+y-3)=0\\(x-y+2)(x+y-3)=0$

Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные существуют. Здесь ограничений на x и y нет, так что просто приравняем множители к нулю и рассмотрим два случая: первый, когда первый множитель ноль и второй, когда второй множитель ноль.

Первый случай:

1) $\left \{ {{x-y+2=0} \atop {xy+y^2=3}} \right. => \left \{ {{x = y - 2} \atop {(y-2)y+y^2=3}} \right. => \left \{ {{x=y-2} \atop {2y^2-2y-3=0}} \right.$

Решаем второе уравнение системы:

$2y^2-2y-3=0\\\frac{D}{4} = 1 + 6 = 7\\ y_1_,_2 = \frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$

Теперь найдем соответствующие x:

$x_1 = y_1-2 => x_1 = \frac{1-\sqrt{7}}{2} - 2 = \frac{-3-\sqrt{7}}{2} = -\frac{3+\sqrt{7}}{2}\\x_2 = y_2 - 2 => x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{2}-2 = \frac{-3+\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}-3}{2}$

Второй случай:

$\left \{ {{x+y-3=0} \atop {xy+y^2=3}} \right. => \left \{ {{x = 3-y} \atop {(3-y)y+y^2=3}} \right. => \left \{ {{x=3-y} \atop {3y=3}} \right. => \left \{ {{x=2} \atop {y = 1}} \right.$

Здесь вроде бы все понятно и без комментариев.

Ответ:

$(-\frac{3+\sqrt{7}}{2}; \frac{1-\sqrt{7}}{2})\\ (\frac{\sqrt{7}-3}{2}; \frac{1+\sqrt{7}}{2})\\ (2;1)$