Question

70 баллов.
Найдите тангенс угла между прямыми:
а) y = -3/4×x - 1 и y = 3/4 ×x + 2
б) 2y + 3x - 1 = 0 и 3y + 2x - 5 = 0
в) x = 1 и y = -2x + 1
г) x = -3 и 3x + 2y - 3 = 0
Желательно скинуть промежуточные действия, а не только ответ.
​

Answer 1

Угол φ между двумя прямыми, заданными  уравнениями c угловыми коэффициентами

y=k₁x+b₁   y=k₂x+b₂, вычисляется по формуле:   tgφ=(k₂-k₁)/(1+k₁*k₂)

а) y=-3х/4-1 и y=3х/4 +2

tgφ=(3/4+3/4)/(1-9/16)=3*16/(2*7)=24/7=3 3/7

б) 2y+3x-1=0 и 3y+2x-5=0; у=-3х/2 -1/2и у=2х/3 +5/3;

tgφ=(2/3+3/2)/(1-(3*2)*(2/3)); tgφ=∞; φ=90°

в) x = 1 и y = -2x + 1;

cosφ=(1*2+0*1)/(√1*√5)=2/√5; sinφ=√(1-4/5)=1/√5; tgφ=(1/√5):(2/√5)=1/2

г) x = -3 и 3x + 2y - 3 = 0

cosφ=(1*3+0*2)/(√1*√(3²+2²))=3/√13; sinφ=√(1-9/13)=2/√13;

tgφ=(2/√13):(3/√13)=2/3

Answer 2

$1)\ \ y=-\dfrac{3}{4}\, x-1\ \ ,\ \ \ y=\dfrac{3}{4}\, x+2\\\\k_1=-\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ k_2=\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ \ \ tg\varphi =\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}\\\\tg\varphi =\dfrac{\frac{3}{4}-(-\frac{3}{4})}{1-\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}}=\dfrac{\frac{6}{4}}{1-\frac{9}{16}}=\dfrac{3\cdot 16}{2\cdot 7}=\dfrac{24}{7}$

$2)\ \ 2y+3x-1=0\ \ ,\ \ y=-\dfrac{3}{2}\, x+\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \ k_1=-\dfrac{3}{2}\\\\3y+2x-5=0\ \ ,\ \ y=-\dfrac{2}{3}\, x+\dfrac{5}{3}\ \ ,\ \ k_2=-\dfrac{2}{3}\\\\\\tg\varphi =\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}=\dfrac{-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}}{1+\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=\dfrac{\frac{5}{6}}{1+1}=\dfrac{5}{6\cdot 2}=\dfrac{5}{12}$

$3)\ \ x=1\ \ \to \ \ \ x-1=0\ \ ,\ \ k_1=?\ (ne\ syshestvyet)\\\\y=-2x+1\ \ ,\ \ 2x+y-1=0\ \ ,\ \ k_2=-2$

Так как для прямой  х=const  (x=1)  угол между прямой и осью ОХ равен 90° , а  tg90°  не существует, то указать угловой коэффициент прямой невозможно (  $k=tg\varphi$ ) .

$\vec{n}_1=(\, 1\, ;\, 0\, )\ \ ,\ \ \vec{n}_2=(\, 2\, ;\, 1\, )\\\\cos\varphi =\dfrac{(\vec{n}_1\cdot \vec{n}_2)}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}=\dfrac{1\cdot 2+0\cdot 1}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$sin\varphi =\sqrt{1-cos^2\varphi }=\sqrt{1-\dfrac{4}{5}}=\dfrac{1}{\sqrt5}\\\\tg\varphi =\dfrac{sin\varphi }{cos\varphi }=\dfrac{1}{2}$

$4)\ \ x=-3\ \ ,\ \ x+3=0\ \ ,\ \ k_1=?\ \ ,\ \ \vec{n}_1=(1,0)\\\\3x+2y-3=0\ \ ,\ \ \vec{n}_2=(3,2)\\\\cos\varphi =\dfrac{1\cdot 3+0\cdot 2}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot \sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\\\\sin\varphi =\sqrt{1-\frac{9}{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\\\\tg\varphi =\dfrac{2}{3}$