Question

Докажите, что если квадрат одной медианы треугольника равен одной пятой суммы квадратов двух других медиан, треугольник прямоугольный

Answer 1

Дано: Ma^2 +Mb^2 =5 Mc^2  

Достроим произвольный треугольник до параллелограмма.

По свойству диагоналей

4Mc^2 +c^2 =2(a^2 +b^2)

Аналогично для медиан Ma и Mb.

Отсюда в произвольном треугольнике

Ma^2 +Mb^2 +Mc^2 =3/4 (a^2 +b^2 +c^2)  

Вычитая условие, получим

8Mc^2 = a^2 +b^2 +c^2

Приравняем по Mc^2

(2a^2 +2b^2 -с^2)/4 =(a^2 +b^2 +c^2)/8 <=> a^2 +b^2 =c^2