Question

1)Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: \\
$\frac{a - 1}{\sqrt{a} - \sqrt[3]{a}} =$

2) показать, что если $z = \sqrt[3]{a + \sqrt{a^{2} + b^{3}}} - \sqrt[3]{\sqrt{a^{2} + b^{3}} - a}$, тогда $z^{3} + 3bz - 2a = 0$

3) Упростить выражение:
$\sqrt{8 + \sqrt{40} + \sqrt{20} + \sqrt{8}}$ (Представить в виде суммы трёх радикалов.)

Answer 1

1)

Поскольку $a>0$, для удобства преобразований обозначим:

$a=t^6$

$\frac{a-1}{\sqrt{a}-\sqrt[3]{a} }=\frac{t^6-1}{t^3-t^2} =\frac{(t^2-1)*(t^4+t^2+1)}{t^2(t-1)} = \frac{(t-1)(t+1)(t^4+t^2+1)}{t^2(t-1)} = \frac{(t+1)(t^4+t^2+1)}{t^2} = \frac{t^4(t+1)(t^4+t^2+1)}{t^6} =\frac{\sqrt[3]{a^2}(\sqrt[6]{a}+1)( \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1) }{a} =\frac{((\sqrt[6]{a}+1)\sqrt[3]{a} )( (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1)\sqrt[3]{a}) }{a} =\\=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt[3]{a})(a+\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}) }{a}$

2)  

$z=\sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+b^3} } - \sqrt[3]{\sqrt{a^2+b^3}-a }$

Обозначим:

$\sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+b^3} }=x\\\sqrt[3]{\sqrt{a^2+b^3}-a }=y$

Тогда:

$x-y = z\\x^3-y^3 = a+\sqrt{a^2+b^3} - \sqrt{a^2+b^3}+a = 2a\\xy = \sqrt[3]{( \sqrt{a^2+b^3}+a)(\sqrt{a^2+b^3}-a) } = \sqrt[3]{a^2+b^3-a^2} =\sqrt[3]{b^3} =b\\2a=x^3-y^3 =(x-y)(x^2+xy+y^2) =(x-y)((x-y)^2+3xy) =z(z^2+3b)\\2a=z^3+3bz\\z^3+3bz-2a=0$

3)

$\sqrt[]{8+\sqrt{40} +\sqrt{20}+\sqrt{8} } =\\=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2 +1^2 +2*\sqrt{2}* \sqrt{5}+2\sqrt{5} *1+2*\sqrt{2}*1 }$

Внутри радикала проглядывается формула квадрата суммы трех слагаемых:

$(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2 +1^2 +2*\sqrt{2}* \sqrt{5}+2\sqrt{5} *1+2*\sqrt{2}*1 } =\\= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2} +\sqrt{1})^2 } = | \sqrt{5}+\sqrt{2} + 1| =\sqrt{5} +\sqrt{2} +1$