Question

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угла ВАС, если НL//AC

Answer 1

Пусть $\angle BAC=\alpha$, тогда $\angle BAC=\angle BHL=\alpha$ как соответственные.

$\angle CAL=\angle ALH$ как накрест лежащие при $AC \parallel HL$ и секущей $AL$. Следовательно, $\triangle AHL$ — равнобедренный, $AH=HL$.

$\triangle CAH=\triangle HLB$ по катету и острому углу ⇒ $AC=HB;~ BL=CH$.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов:

$HL^2=CL\cdot BL$

По свойству биссектрисы : $\dfrac{CL}{BL}=\dfrac{AC}{AB}$. Тогда

$HL^2=\dfrac{AC\cdot BL^2}{AB}~~\Rightarrow~~ \left(\dfrac{HL}{BL}\right)^2=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{HB}{AH+HB}\\ \\ \\ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{AH}{HB}+1}~~\Rightarrow~~{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{HL}{HB}+1}=\dfrac{1}{\cos \alpha +1}$

Воспользуемся следующими тригонометрическими свойствами

${\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}$

$\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\cos\alpha+1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos\alpha}=1~~\Rightarrow~~ \cos^2\alpha+\cos\alpha-1=0$

Последнее уравнение решается как квадратное уравнение относительно $\cos \alpha$.

$D=1+4=5$

$\cos \alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Значение $\cos \alpha =\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ — постороннее, поскольку косинус принимает значения от -1 до 1.

Ответ: $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.$