Question

sin5Xcos2X=1 мне нужно только выйти к решению, дальше сама смогу

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{\pi}{2}+2\pi p, p\in\mathbb{Z}$

Пошаговое объяснение:

$2\sin{5x}\cos{2x}=2\\ \sin{(5x+2x)}+\sin{(5x-2x)}=2\\ \sin{7x}+\sin{3x}=2$

Так как $\sin{7x}\leq 1, \sin{3x}\leq 1$, $\sin{7x}+\sin{3x}\leq 2$. Равенство достигается только в том случае, когда оба синуса равны 1:

$\displaystyle\left \{ {{\sin{7x}=1,} \atop {\sin{3x}=1}} \right. \left \{ {{7x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,} \atop {3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,}} \right. k,n\in\mathbb{Z}\left \{ {{x=\frac{\pi}{14}+\frac{2\pi k}{7}} \atop {x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}}} \right.$

Найдём пересечения решений уравнений системы:

$\displaystyle \frac{\pi}{14}+\frac{2\pi k}{7}=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}|\cdot\frac{42}{\pi}\\3+12k=7+28n\\12k=4+28n\\3k=1+7n$

Левая часть делится на 3, значит, и правая должна делиться на 3.

Если n = 3p, p ∈ Z, то 1 + 7n = 1 + 21n — не делится на 3.

Если n = 3p+1, то 1 + 7n = 1 + 7(3p+1) = 8 + 21p — не делится на 3.

Если n = 3p+2, то 1 + 7n = 1 + 7(3p+2) = 15 + 21p = 3(5 + 7p) — делится на 3.

Тогда системе удовлетворяют k = 7p + 5, n = 3p + 2, p ∈ Z. Выразим x через n, используя p:

$x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi(3p+2)}{3}=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi p=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi p, p\in\mathbb{Z}$