Question

Найдите $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{A_n}{D_n}$ , где $\left(\begin{array}{cc}19&-48\\8&-21\end{array}\right)^n=\left(\begin{array}{cc}A_n&B_n\\C_n&D_n\end{array}\right)$

Answer 1

Определитель матрицы равен -15, след равен -2

Найдем собственные значения и вектора

$\lambda^2 + 2\lambda - 15=0\\\lambda_1 = -5\\\lambda_2 = 3$

Для нахождения собственных векторов "решим" уравнение

$(19-\lambda)p - 48q=0\\\lambda_1 : \ p=2q\\\lambda_2 : \ p = 3q$

Итак, собственные вектора это, например, (2,1) и (3,1) соответственно. Они линейно независимы, поэтому любой вектор $\mathbf{v}$ можно представить в виде их линейной комбинации

$\mathbf{v} = \hat{S}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}, \quad \hat{S} = \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} = \hat{S}^{-1}\mathbf{v}, \quad\hat{S}^{-1} = \begin{pmatrix}-1 & 3\\1 & -2\end{pmatrix}$

Тогда, обозначив нашу матрицу $\hat{M}$, имеем

$\hat{M}\mathbf{v} = -5\alpha\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} + 3\beta\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5\alpha&0\\0&3\beta\end{pmatrix} = \\=\hat{S}\hat{J}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix} = \hat{S}\hat{J}\hat{S}^{-1}\mathbf{v}$

Итак, для матрицы $\hat{M}$ мы нашли особое представление

$\hat{M} = \hat{S}\hat{J}\hat{S}^{-1},\quad\hat{J} = \begin{pmatrix}-5&0\\0&3\end{pmatrix}$

Легко заметить, что

$\hat{M}^{n} = \hat{S}\hat{J}^n\hat{S}^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(-5)^n & 0\\0 & 3^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 3\\1 & -2\end{pmatrix}$

Отсюда уже легко найти

$A_n = -2\cdot(-5)^n+3\cdot3^{n}\\D_n = 3\cdot(-5)^n - 2\cdot3^{n}$

Искомый предел определяется отношением коэффициентов при старших экспонентах и равен -2/3.