Question

Определите сопротивление бесконечной цепи между точками A и B, если сопротивление каждой проволочки, соединяющей узлы, равно 1 Ом. Ответ выразите в омах, округлите до десятых.

Answer 1

Ответ:

1,2 Ом

Объяснение:

Обратим внимание на то, что потенциалы центральных узлов одинаковы. Действительно, по каждую сторону от узла находится одно и то же сопротивление, значит в узле напряжение делится пополам (см. рисунок). Перемычки можно исключить. Получившаяся цепь уже проще. Отбросим бесконечную часть цепи, заменив ее на Rx, очевидно, что и сопротивление всей цепи будет равно Rx, ведь отбрасывание одного повторяющегося участка от бесконечной цепи не изменит ее сопротивления, опираясь на это, составим уравнение:

$\displaystyle R_x=\frac{2R(2R+R_x)}{4R+R_x}$

$\displaystyle 4RR_x+R_x^2=4R^2+2RR_x$

$\displaystyle R_x^2+2RR_x-4R^2=0$

Или, с учетом данных задачи:

$\displaystyle R_x^2+2R_x-4=0$

Решаем полученное квадратное уравнение:

$\displaystyle D=2^2-4*(-4)=20$

$\displaystyle R_{x1}=\frac{-2+\sqrt{20} }{2}=1.236$ Ом

$\displaystyle R_{x2}=\frac{-2-\sqrt{20} }{2} <0$ - не подходит

Таким образом, сопротивление представленной на рисунке бесконечной цепи 1,2 Ом.