Question

Найти сумму всех решений неравенства

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{cos 5 \pi x >0 } \atop {ln(cos5\pi x) \geq 0}} \right.$        $\left \{ {{cos 5 \pi x >0 } \atop {cos5\pi x \geq 1}} \right.$

так как  $|cos 5 \pi x| \leq 1$  ,   то

$\left \{ {{cos 5 \pi x >0 } \atop {cos5\pi x= 1}} \right.$   ⇒     $cos5\pi x= 1$

Тогда неравенство принимает вид:

$|2x^2-20x+37|\leq 5$     ⇒      $-5\leq |2x^2-20x+37\leq 5$

$\left \{ {{2x^2-20x+37\leq 5 } \atop {2x^2-20x+37 \geq 5}} \right.$   ⇒    $\left \{ {{2x^2-20x+32\leq 0 } \atop {2x^2-20x+42 \geq 0}} \right.$      ⇒    $\left \{ {{x^2-10x+16\leq 0 } \atop {x^2-10x+21 \geq 0}} \right.$   ⇒

$\left \{ {{(x-2)(x-8)\leq 0 } \atop {(x-3)(x-7)\geq 0}} \right.$    ⇒    $x \in [2;3]\cup[7;8]$

C учетом ОДЗ:    $cos5\pi x= 1$

находим те корни этого тригонометрического уравнения, которые

удовлетворяют найденному решению   $x \in [2;3]\cup[7;8]$

$5\pi x=2 \pi n, n \in Z$

$x=\frac{2}{5} n, n \in Z$

При $n=5$

$x=2\in [2;3]\cup[7;8]$

При $n=6$

$x=2,4\in [2;3]\cup[7;8]$

При $n=7$

$x=2,8\in [2;3]\cup[7;8]$

При $n=18$

$x=7,2\in [2;3]\cup[7;8]$

При $n=19$

$x=7,6\in [2;3]\cup[7;8]$

При $n=8$

$x=8\in [2;3]\cup[7;8]$

О т в е т. $\{2;2,4;2,8;7,2;7,6;8\}$