Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение площади треугольника, у которого одна из вершин есть начало координат, а две другие принадлежат кривым $f(x) = -2x^{2} + 5x - 10$ и $g(x) = 3x^{2} - 10x + 2$ и имеют одинаковые абсциссы, причем $x$ ∈ $[0,6; 1,5]$

Answer 1

$A(0;0)\\\\B(x; -2x^2+5x-10)\\\\C(x; 3x^2-10x+2)$

$AD$ ⊥ $BC$

$|AD|=|x|=x$,  так как     $x \in [0,6;1,5]$

$|BC|=|3x^2-10x+2-(-2x^2+5x-10)|=|5x^2-15x+12|=5x^2-15x+12$

так как    $5x^2-15x+12>0$     при любых х,   D=225-240<0

$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|AD|\cdot |BC|=\frac{1}{2}x\cdot (5x^2-15x+12)$  -  функция, зависящая от х.

Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на $[0,6;1,5]$

$S(x)=\frac{1}{2} (5x^3-15x^2+12x)$

$S`(x)=\frac{15x^2-30x+12}{2}$

$S`(x)=0$      ⇒         $15x^2-30x+12=0$

$5x^2-10x+4=0$

$D=(-10)^2-4\cdot 5\cdot 4=100-80=20=(2\sqrt{5})^2$

$x_{1,2}=\frac{10\pm2\sqrt{5}}{10} =1\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$1-\frac{\sqrt{5}}{5}<0,6$    так как     $1-0,6 <\frac{\sqrt{5}}{5}$   и возводя в квадрат получим:  

$0,16 < \frac{5}{25}=0,2$

$1+\frac{\sqrt{5}}{5}<1,5$    так как     $\frac{\sqrt{5}}{5}< 1,5 -1$   и возводя в квадрат получим:  

$0,2=\frac{5}{25}<0,25$

Значит только одна точка   $x=1+\frac{\sqrt{5}}{5}$  возможного экстремума принадлежит    данному отрезку [0,6;1,5]

Эта точка - точка минимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +

Значит наименьшее значение площади

$S(1+\frac{\sqrt{5}}{5})=\frac{1}{2} (5\cdot(1+\frac{\sqrt{5}}{5})^3-15\cdot( 1+\frac{\sqrt{5}}{5})^2+12\cdot (1+\frac{\sqrt{5}}{5}))=1-\frac{\sqrt{5} }{5} \approx 0,5527$

Наибольшее значение на одном из концов отрезка:

при $x=0,6$

$S(0,6)=\frac{1}{2} (5\cdot 0,6^3-15\cdot 0,6^2+12\cdot 0,6)=1,44$ - наибольшее значение

при $x=1,5$

$S(1,5)=\frac{1}{2} (5\cdot 1,5^3-15\cdot 1,5^2+12\cdot 1,5)=0,5625$

О т в е т. Наибольшее значение   площади   $S(0,6)=1,44$

наименьшее значение площади  $S(1+\frac{\sqrt{5}}{5})=1-\frac{\sqrt{5} }{5}$