Question

Помогите с арифметической прогрессией! Пожалуйста, решайте не заумно, а чтобы было понятно (уровень 10го класса). Знайти перші п’ятдесят членів двох арифметичних прогресій 2; 7; 12; … і 3; 10; 17;…, які однакові в обох прогресіях та обчислити їх суму S. У відповідь записати S : 100. (Найти первые пятьдесят членов двух арифметических прогрессий 2; 7, 12; ... и 3; 10, 17 ..., которые одинаковы в обоих прогрессиях и вычислить их сумму S. В ответ записать S: 100.)

Answer 1

Первая прогрессия

$a_n = 2 + 5(n-1) = 5n-3$

Вторая прогрессия

$b_m = 3+7(m-31) = 7m-4$

Где m,n - натуральные числа.

Приравняем

$5n-3 = 7m - 4\\7m - 5n = 1$

Если какие-то m и n - решения, то ближайшее следующее решение это m+5 и n+7, так как числа 7 и 5 взаимно простые. Совпадающие решения также образуют арифметическую прогрессию с шагом 7*5=35

Первое совпадение это число 17 (n=4 и m=3)

Следующее совпадение это (n=11, m=8) 52 = 17+5*7

Итак, совпадающие члены это

$c_n = 17 + 35(n-1) = 35n - 18$

А сумма

$S = c_1+...+c_{50} = 35\cdot50\cdot51/2-900 = 43725\\S/100 = 437.25$