Question

Найдите все тройки различных натуральных числа, обладающих свойством: сумма любых двух из них делится на третье.​

Answer 1

Ответ:

(x, 2x, 3x), x∈N с точностью до перестановки

Пошаговое объяснение:

Пусть некая тройка натуральных чисел x, y, z таких, что x<y<z (т.к. числа различны), удовлетворяет условию.

x<z, y<z => x+y<2*z.

Т.к. сумма любых двух чисел тройки делится на третье, 1) x+y делится на z. Тогда x+y=1*z=z. 2) x+z делится на y => 2x+y делится на y => 2x делится на y 3) y+z делится на x => x+2y делится на x => 2y делится на x

Тогда существуют такие натуральные k, l, что 2x=ky, 2y=lx => 4lx=2lky, 8y=4lx => 8y=2lky => 4=lk

k=1 => l=4 => 2x=y => z=3x. Все тройки вида x, 2x, 3x, где x натуральное, подходят (x+2x=3x, x+3x=4x=2*2x, 2x+3x=5x=5*x)      (1)

k=2 => l=2 => x=y - противоречие

k=4 => l=1 => 2y=x - случай, аналогичный случаю с точностью до перестановки чисел (1)