Question

Найдите значения параметра a, при которых система имеет два решения

Answer 1

Преобразуем систему - попытаемся выразить одну переменную (х или у) через другую и переменную a

$\displaystyle\begin{cases}x^2+y^2=2(1+a)\\(x+y)^2=14\end{cases}\\\begin{cases}x^2+y^2+2xy=2(1+a)+2xy\\(x+y)^2=14\end{cases}\\\begin{cases}(x+y)^2=2(1+a)+2xy\\(x+y)^2=14\end{cases}\\2(1+a)+2xy=14\\1+a+xy=7\\a+xy=6\\xy=6-a\\y=\frac{6-a}{x}$

Подставим полученное выражение в первую строку:

$\displaystyle x^2+\frac{(6-a)^2}{x^2}=2(1+a)|*x^2\\x^4-2(1+a)x^2+(6-a)^2=0$

Данное выражение будет иметь два решения если D = 0:

$D=4(1+a)^2-4(6-a)^2=0\\1+2a+a^2-36+12a-a^2=0\\14a=35\\a=2.5$