Question

При каких a неравенство выполнено при всех x? (ответ отмечен, мне нужно решение) sin^4x+cos^4x>asinxcosx

Answer 1

Ответ:

(-1; 1)

Пошаговое объяснение:

Преобразуем левую часть:

$\sin^4{x}+\cos^4{x}=\sin^4{x}+2\sin^2{x}\cos^2{x}+\cos^4{x}-2\sin^2{x}\cos^2{x}=\\=(\sin^2{x}+\cos^2{x})^2-2\sin^2{x}\cos^2{x}=1-2\sin^2{x}\cos^2{x}=\\=1-\dfrac{4\sin^2{x}\cos^2{x}}{2}=1-\dfrac{(2\sin{x}\cos{x})^2}{2}=1-\dfrac{\sin^2{2x}}{2}$

Преобразуем правую часть:

$a\sin{x}\cos{x}=a\dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{2}=\dfrac{a\sin{2x}}{2}$

Неравенство будет иметь вид:

$1-\dfrac{\sin^2{2x}}{2}>\dfrac{a\sin{2x}}{2}|\cdot 2\\2-\sin^2{2x}>a\sin{2x}\\\sin^2{2x}+a\sin{2x}-2<0$

Пусть $\sin{2x}=t\Rightarrow -1\leq t\leq 1$

$y=t^2+at-2$ — парабола, ветви которой направлены вверх. На промежутке t ∈ [-1; 1] все её значения должны быть отрицательными, значит, достаточно, чтобы y(-1) < 0 и y(1) < 0:

$\displaystyle\left \{ {{1-a-2<0,} \atop {1+a-2<0}} \right. \left \{ {{a>-1,} \atop {a<1}} \right.$

-1 < a < 1

Answer 2

Ответ:

(-1;1)

Пошаговое объяснение:

смотри приложение

1eb2829f3b830f619a22dc0858369a2d.pdf